Diferencia entre revisiones de «Programa de Erlangen»

La idea de la memoria, conocida como el ''Programa de Erlangen'', es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una [[Geometría|geometría]], más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.

Ante la aparición de las nuevas [[Geometría no euclidiana|geometrías no euclidianas]], parece lógico preguntarse qué es la [[Geometría]], máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la [[Geometría]] sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio [[Análisis matemático|Análisis Matemático]] (sobre todo en el estudio de [[Ecuación diferencial|Ecuaciones Diferenciales]]) parece estudiar también tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las [[Geometría no euclidiana|geometrías no euclidianas]]. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las [[Geometría no euclidiana|geometrías no euclidianas]] y la [[Geometría euclidiana|geometría euclidiana]], por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.

*Debe existir un [[Elemento neutro|elemento neutro]]: esto quiere decir que ha de haber un elemento <math>e</math> del conjunto de manera que si tomo cualquier otro elemento <math>a</math> del conjunto y lo operooperó con él, entonces el resultado vuelve a ser el elemento <math>a</math>, es decir, es como si al elemento <math>a</math> no lo hubiera operado. Así, con nuestra notación, <math>e \star a = a</math> y <math>a \star e = a</math>.

* Por último, cada elemento debe tener un [[Elemento simétrico|elemento simétrico]]: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera <math>a</math> del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento <math> \hat{a}</math> del conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el [[Elemento neutro|elemento neutro]]: <math> a \star \hat{a} = \hat{a} \star a = e</math>.

El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él el que descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada [[Geometría|geometría]] es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina [[Invariante|invariantes]], y las transformaciones que no hacen cambiar a un [[Invariante|invariante]] han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera).

Así [[Felix Klein|Klein]] descubre que, por ejemplo, la [[Geometría euclidiana|geometría euclidiana]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de los [[Cinemática del sólido rígido#Movimientos de un sólido rígido|movimientos rígidos]] (como las simetrías, giros y traslaciones), que la [[Geometría afín|geometría afín]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de las traslaciones, que la [[geometría proyectiva]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la [[Topología]] es el estudio de los [[Invariante|invariantes]] mediante el grupo de las [[Función continua|funciones continuas]] y de inversa continua, entre otras.

El descubrimiento de [[Felix Klein|Klein]] es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la [[Geometría]] (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre el método sintético y el algebraico-analítico. En su época supuso la consagración de la [[Geometría proyectiva|Geometría Proyectiva]] como la ''Reina de las Geometrías''.