Diferencia entre revisiones de «Ley de elasticidad de Hooke»

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Esta ley recibe su nombre del físico inglés [[Robert Hooke]], contemporáneo de [[Isaac Newton]], y contribuyente prolífico de la [[arquitectura]]. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en [[ingeniería]] y [[construcción]], así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso [[anagrama]], ''ceiiinosssttuv'', revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa ''Ut tensio sic vis'' ("[[proporcionalidad|como la extensión, así la fuerza]]").
 
== Ley de Hooke para los resortes ==
[[Archivo:Spring-mass2.svg|thumb|250px|La ley de Hooke describe cuánto se alarga un resorte bajo una cierta fuerza.]]
La forma más común de representar matemáticamente la ''Ley de Hooke'' es mediante la ecuación del muelle o [[resorte]], donde se relaciona la fuerza <math>F</math> ejercida por el resorte con la [[alargamiento|elongación]] o alargamiento <math>\delta</math> provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:
{{ecuación|
<math>F = - k * \delta \, </math>
||left}}
donde <math>k</math> se llama [[rigidez|constante elástica]] del resorte y <math> \delta </math> es su elongación o variación que experimenta su longitud.
 
La energía de deformación o energía potencial elástica <math>U_k</math> asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
{{ecuación|
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2 </math>
||left}}
 
Es importante notar que la <math>k</math> antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando <math>k</math> por la longitud total, y llamando al producto <math>k_i</math> o <math>k</math> intrínseca, se tiene:
 
{{ecuación|
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
||left}}
 
Llamaremos <math>F(x)</math> a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, <math>k_{\Delta x}</math> a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud <math>\Delta x</math> a la misma distancia y <math>\delta_{\Delta x}</math> al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza <math>F(x)</math>. Por la ley del muelle completo:
 
{{ecuación|<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>||left}}
 
Tomando el límite:
{{ecuación|
<math>F(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}</math>
||left}}
que por el principio de superposición resulta:
{{ecuación|
<math>F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
||left}}
Teniendo en cuenta esta Ley de Hooke del muelle y además, la masa del objeto que oscila, y su aceleración, se obtiene como solución el movimiento del [[oscilador armónico]] simple (Ver también: [[Muelle elástico]] / [[Resorte]]). La frecuencia angular de la oscilación se calcula como:
{{ecuación|
<math>{\omega}=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> siendo m la masa del oscilador
||left}}
 
En los medios elásticos también se pueden propagar ondas como consecuencia de la vibración del medio. En la [[ecuación_de_onda |ecuación de ondas]] de las [[onda elástica | ondas elásticas]] interviene además de la variable espacial <math>x</math> (en el caso de una dimensión), el tiempo. Esto es debido a que una onda tiene la doble dependencia espacial y temporal a la vez (Ver también: [[Muelle elástico]] / [[Resorte]]).
 
== Ley de Hooke en sólidos elásticos ==
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