Diferencia entre revisiones de «Ecuación de cuarto grado»

m
Demostración hecha con base en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=N595icOaTBo
m (Revertidos los cambios de 189.202.41.4 (disc.) a la última edición de SeroBOT)
Etiqueta: Reversión
m (Demostración hecha con base en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=N595icOaTBo)
[[Archivo:Polynomialdeg4.png|miniaturadeimagen|200px|derecha|Gráfico de una función polinómica de cuarto grado.]]
En el álgebra, una '''ecuación de cuarto grado''' o '''ecuación cuártica''' con una incógnita es una [[ecuación algebraica]]<ref>Las ecuaciones algebraicas llevan polinomios con coeficientes racionales</ref> que asume la llamada ''' forma canónica''':
{{teorema
|título= Ecuación de cuarto grado
En un cuerpo '''algebraicamente cerrado''', se sabe que todo [[polinomio]] de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el [[Teorema Fundamental del Álgebra]].
 
El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés [[René Descartes]] (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La GeometríaGeométrie". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos son: método de [[Ludovico Ferrari|Ferrari]], método de [[René Descartes|Descartes]], método de [[Leonhard Euler|Euler]], método de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], método de [[Gaddy Evin Alcalá|Alcalá]]{{cr}},entre etcéteraotros.
 
=== Ecuación cuártica en cuerpo finito ===
 
: <math>x^4- x^2- 240 = 0</math>
:una raíz en el conjunto finito de los restos de enteros de módulo 11, o sea F[11] es
 
: <math>x = 4</math>
 
: Mediante la [[división sintética]] queda <math>(x+ 1)(x^3- x^2 )-240 = 0</math><ref>Kostrikin: Introducción al Álgebra, editoriaL Mir, Moscú, (1983)</ref>
 
== Características ==
#* Si el término independiente tiene signo - tiene por lo menos una raíz real.
#* Si el número complejo <math> z = a+bi </math> es la raíz de una ecuación cuártica, también lo es su conjugado <math> z' = a-bi </math>.
#* La gráfica de una función polinomial(polinómica (generatriz de ecuación) corta al eje X en 0, 1, 2, 3 o 4 puntos.
 
== Un caso sencillo ==
que es unitaria, como polinomio para valores reales nunca se anula.
 
Por lo tanto sus cuatro raíces son complejas, en pares de conjugados. Precisamente la raíces quintas primitivas de 1la unidad. Estructuradas sobre la base de seno y coseno de 72º y sus múltiplos hasta el cuarto.<ref> Uspensky: Teoría de ecuaciones</ref>
 
=== Método de Descartes ===
 
LosÉsta pasoses la demostración de la [[resolución de ecuaciones|resolución]] para el método de Descartes (1637) son:
* Dividir la ecuación inicial por el coeficiente ''a''. Se obtiene:
:<math>x^4 + b'x^3 + c'x^2 + d'x + e' = 0 \,</math>,
donde <math>b' = \frac {b} {a} \,</math>, <math>c' = \frac {c} {a} \,</math>, <math>d' = \frac {d} {a} \,</math> y <math>e' = \frac {e} {a} \,</math>
 
Sea la ecuación cuártica
* Proceder al cambio de incógnita <math>z = x + \frac {b'} {4} \longrightarrow x = z - \frac {b'} {4}\,</math>, para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar <math>(z - \frac {b'} {4})^4\,</math> con la identidad precedente, vemos aparecer el término <math>-b'z^3\,</math>, compensado exactamente por <math>b'z^3\,</math>, por lo que no aparecerá el término <math>z^3\,</math>. La nueva ecuación escrita en términos de <math>z\,</math> viene dada por:
 
: <math> ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0</math>
:<math>z^4+\underbrace{\left(c'-\frac{3 b'^2}{8}\right)}_{p}z^2+\underbrace{\left(d'-\frac{b'c'}{2}+\frac{b'^3}{8}\right)}_{q}z
 
+\underbrace{\left(e'-\frac{b'd'}{4}+\frac{b'^2c'}{16}-\frac{3b'^4}{256}\right)}_{r}\,</math>
Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos:
 
:<math>x^4 + \frac{b}{a}x^3 + \frac{c}{a}x^2 + \frac{d}{a}x + \frac{d}{a} = 0 \,</math>
 
Procedemos a realizar una [[transformación de Tschirnhaus]], es decir sustituir <math>w = x + \frac{b}{4a} \longrightarrow x = w - \frac{b}{4a}\,</math>, para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar <math>(w - \frac{b}{4a})^4\,</math> con la identidad precedente, vemos aparecer el término <math>-\frac{b}{a}w^3\,</math>, compensado exactamente por <math>\frac{b}{a}w^3\,</math>, por lo que se eliminará el término <math>w^3\,</math>. La nueva ecuación escrita en términos de <math>w\,</math> viene dada por:
 
:<math>w^4+\underbrace{\left(\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2}\right)}_{j}w^2+\underbrace{\left(\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3}\right)}_{k}w
+\underbrace{\left(\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^2c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}\right)}_{l}\,=0</math>
que de acuerdo a las definiciones recién introducidas, escribiremos simplemente como
 
:<math>zw^4 + pzjw^2 + qzkw + rl = 0 \,</math>, donde en efecto el término <math>zw^3\,</math> ha desaparecido.
 
La idea importante es [[factorización|factorizar]] lo anterior en <math>(w^2 + \alpha w + \beta )( w^2 - \alpha w + \gamma) = 0\,</math>, lo que es posible porque no hay <math>w^3</math> en el polinomio, y que al desarrollar viene dado explícitamente por
 
:<math>w^4+(\beta + \gamma -\alpha^2)w^2+\alpha(\gamma-\beta)w+\beta\gamma\,=0</math>.
 
Al identificar lo anterior con los términos <math>j\,</math>,<math>k\,</math> y <math>l\,</math>, obtenemos las condiciones:
:<math>\beta + \gamma - \alpha^2 = j \,</math>,
:<math>\alpha(\gamma - \beta) = k \,</math>,
:<math>\beta \gamma = l \,</math>.
 
Si queremos encontrar el valor de <math> \alpha</math> primeramente, considérense las condiciones expuestas como un sistema de ecuaciones de tres incógnitas.
 
: <math> \begin{cases} \beta + \gamma -\alpha^{2} = j \\ \alpha (\gamma -\beta) = k \\ \beta \gamma = l \end{cases}</math>
 
Despejamos <math> \alpha^2</math> en la primera ecuación, obtenemos:
 
: <math> \beta + \gamma = j + \alpha^{2}</math>
 
Despejamos <math> \alpha </math> en la segunda ecuación, obtenemos:
 
: <math>\gamma - \beta = \frac{k}{\alpha} \,</math>
 
Con los resultados obtenidos, formamos un nuevo sistema.
 
: <math> \begin{cases} \beta + \gamma = j + \alpha^{2} \\ \gamma - \beta = \frac{k}{\alpha} \end{cases} </math>
 
Sumamos y restamos las dos ecuaciones del nuevo sistema, y juntamos los resultados en otro nuevo sistema:
 
:<math> \begin{cases} 2\beta = j + \alpha^{2} - \frac{k^2}{\alpha^2} \\ 2\gamma = j + \alpha^{2} + \frac{k^2}{\alpha^2} \end{cases}</math>
 
Multiplicamos las ecuaciones del sistema reciente, obtenemos:
 
: <math> 4\beta\gamma = \alpha^4 + 2j\alpha^2 + j^2\alpha - \frac{k^2}{\alpha^2} </math>
 
Nos damos cuenta de que existe <math>\beta\gamma</math>, por tanto lo reemplazamos por <math>l</math>:
 
: <math> 4l = \alpha^4 + 2j\alpha^2 + j^2\alpha - \frac{k^2}{\alpha^2} </math>
 
Pasamos <math>4l</math> al otro miembro de la igualdad con signo opuesto, esto da:
 
: <math> \alpha^4 + 2j\alpha^2 + j^2\alpha - \frac{k^2}{\alpha^2} - 4l = 0 </math>
 
Como hay un término fraccionario, procuramos multiplicar la ecuación por <math>\alpha^2</math>:
 
: <math> \alpha^6 + 2j\alpha^4 + j^2\alpha^2 - k^2 - 4l\alpha^2 = 0 </math>
 
Por último, indicamos factor común en <math>2j\alpha^2</math> y <math>4l\alpha^2</math>:
 
: <math> \alpha^6 + 2j\alpha^4 + (j^2-4l)\alpha^2 - k^2 = 0 </math>
 
Esto aparenta ser una [[ecuación de sexto grado]], pero si la miramos con mucho cuidado, <math>\alpha</math> solamente aparece con potencias pares. Por tanto, hacemos la sustitución <math>\alpha^2 = y</math>:
 
:<math>y^3 + 2jy^2 + (j^2 - 4l)y - k^2 = 0 \,</math>
 
Esto resulta ser una [[ecuación de tercer grado]] en la variable <math> y\,</math> (denominada ecuación cúbica resolvente), que se puede resolver usando el [[método de Cardano]]. Una vez resuelta, queremos hallar el propio valor de <math>\alpha</math>, por tanto extraemos raíz cuadrada en ambos miembros (imponiendo la restricción de que al menos una solución de la ecuación cúbica resolvente solo puede tomar valores reales positivos o cero, de lo contrario, ocasionaría el origen de un número imaginario no deseado, porque no existen raíces cuadradas de números negativos dentro de los números reales):
 
<math>\alpha = \sqrt{y} \Leftrightarrow y \geq 0</math>
 
Por tanto, hemos hallado la solución para <math>\alpha</math>. Por tanto, reemplazando <math>\alpha</math> en el sistema anterior al reciente, obtenemos las soluciones <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>:
 
:<math> 2\beta = j + y - \frac{k^2}{\sqrt{y}} \rightarrow \beta = \frac{ j + y - \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2} </math>
:<math> 2\gamma = j + y + \frac{k^2}{\sqrt{y}} \rightarrow \gamma = \frac{ j + y + \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2}</math>
 
Reemplazamos los valores de <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>:
 
: <math> (w^2 + \alpha w + \beta )( w^2 - \alpha w + \gamma) = 0 </math>
 
: <math> \left( w^2 + \sqrt{y} w + \frac{j}{2} + \frac{ j + y - \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2} \right)\left( w^2 - \sqrt{y} w + \frac{y}{2} + \frac{ j + y + \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2} \right) = 0 </math>
 
Aplicamos la ley del producto nulo en ambos factores, esto los separa en dos ecuaciones cuadráticas distintas:
 
: <math>w^2 + \sqrt{y} w + \frac{j}{2} + \frac{y}{2} - \frac{ j + y - \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2} = 0</math>
: <math>w^2 - \sqrt{y} w + \frac{j}{2} + \frac{y}{2} + \frac{ j + y + \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2} = 0</math>
 
Calculamos el discriminante de la primera ecuación cuadrática (sabiendo que <math>a=1</math>, <math>b=\sqrt{y}</math> y <math>c=\frac{ j + y - \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2}</math>):
 
: <math> \Delta_1 = b^2-4ac = \left(\sqrt{y}\right)^2 - 4(1) \left(\frac{ j + y - \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2}\right) = y - 2j - 2y + \frac{2k^2}{\sqrt{y}} = -y - 2j + \frac{2k^2}{\sqrt{y}} </math>
 
Calculamos el discriminante de la segunda ecuación cuadrática (sabiendo que <math>a=1</math>, <math>b=-\sqrt{y}</math> y <math>c=\frac{ j + y + \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2}</math>):
 
: <math> \Delta_2 = b^2-4ac = \left(-\sqrt{y}\right)^2 - 4(1) \left(\frac{ j + y + \frac{k^2}{\sqrt{y}} }{2}\right) = y - 2j - 2y - \frac{2k^2}{\sqrt{y}} = -y - 2j - \frac{2k^2}{\sqrt{y}} </math>
 
Resolvemos ambas ecuaciones por separado (recordemos que hemos denominado sus respectivos discriminantes como <math>\Delta_1</math> y <math>\Delta_2</math>, porque ambas ecuaciones tienen la misma incógnita <math>w</math>).
 
Resolvemos la primera ecuación:
 
: <math> w_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta_1}}{2a} = \frac{ -\sqrt{y}\pm\sqrt{-y - 2j + \frac{2k^2}{\sqrt{y}}}}{2} = \frac{1}{2} \left( -\sqrt{y}\pm\sqrt{-y - 2j + \frac{2k^2}{\sqrt{y}}} \right)</math>
 
Resolvemos la segunda ecuación:
* Y ahora, la idea genial: [[factorización|factorizar]] lo anterior en <math>(z^2 + \alpha z + \beta )( z^2 - \alpha z + \gamma) \,</math>, lo que es posible porque no hay <math>z^3</math> en el polinomio, y que al desarrollar viene dado explícitamente por
 
: <math> w_{3,4} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta_2}}{2a} = \frac{ \sqrt{y}\pm\sqrt{-y - 2j - \frac{2k^2}{\sqrt{y}}}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{y}\pm\sqrt{-y - 2j - \frac{2k^2}{\sqrt{y}}} \right)</math>
:<math>z^4+(\gamma +\beta-\alpha^2)z^2+\alpha(\gamma-\beta)z+\beta\gamma\,</math>.
 
Y ahora, el último paso para conseguir las soluciones de la ecuación original es utilizar la guiguiente fórmula de la transformación de Tschirnhaus al inicio de la demostración.
Al identificar lo anterior con los términos <math>p\,</math>,<math>q\,</math> y <math>r\,</math>, obtenemos las condiciones:
:<math>\beta + \gamma - \alpha^2 = p \,</math>,
:<math>\alpha(\gamma - \beta) = q \,</math>,
:<math>\beta \gamma = r \,</math>.
 
: <math> x_n = w_n - \frac{b}{4a} \qquad\mathrm{donde}\qquad n=1,2,3,4. </math>
 
Por tanto (ordenando por signo):
Después de algunos cálculos, hallamos:
<math>\alpha^6 + 2p\alpha^4 + (p^2 - 4r)\alpha^2 - q^2 = 0 \,</math>
Es una [[ecuación de sexto grado]], pero si miramos bien, '''α''' solo aparece con potencias pares.
 
: <math> x_{1,2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{y}\pm\sqrt{-y - 2j - \frac{2k^2}{\sqrt{y}}} \right) - \frac{b}{4a} </math>
Pongamos <math>A = \alpha^2</math>. Entonces:
: <math> x_{3,4} = \frac{1}{2} \left( -\sqrt{y}\pm\sqrt{-y - 2j + \frac{2k^2}{\sqrt{y}}} \right) - \frac{b}{4a} </math>
:<math>A^3 + 2pA^2 + (p^2 - 4r)A - q^2 = 0 \,</math>, que resulta ser una [[ecuación de tercer grado]] en la variable <math> A\,</math> y que se puede resolver usando el [[método de Cardano]].
Luego se encuentra '''α''', '''β''' y '''γ''', y se resuelven <math>z^2 + \alpha z + \beta = 0 \,</math> y <math>z^2 - \alpha z + \gamma = 0 \,</math>, y para terminar, no olvide que <math>x = z - \frac {b'} {4}</math>.
 
== Ecuaciones bicuadradas ==
Estas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:
:<math> ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0 </math>
 
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el [[cambio de variable]] <math> {x^2}^{}=ut</math> <br />
Con lo que nos queda: <math> {auat^2}^{} + bubt + c = 0 </math>
El resultado resulta ser una [[ecuación de segundo grado]] que podemos resolver usando la fórmula:
<center><math> ut = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
 
Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:
 
:<math> x_1 = +\sqrt{u_1t_1}</math>
:<math>x_2 = -\sqrt{u_1t_1}</math>
:<math>x_3 = +\sqrt{u_2t_2}</math>
:<math>x_4 = -\sqrt{u_2t_2} </math>
 
=== ObtenerObtención de una ecuación a partir de una raíz ===
Sea <math>x_0</math> una raíz cuyo valor se conoce:
 
}}
 
* Otro caso particular: Ecuaciones casisimétricascuasisimétricas {{cr}}
 
El siguiente tipo de ecuación
Esta ecuación da 2 raíces, <math>z_1</math> y <math>z_2</math>
 
Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o gradocuadráticas:
 
:<math>x^2 -z_1x + m = 0 \,</math>