Diferencia entre revisiones de «Ecuación de cuarto grado»

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[[Archivo:Polynomialdeg4.png|miniaturadeimagen|200px|derecha|Gráfico de una función polinómica de cuarto grado.]]
En álgebra, una '''ecuación de cuarto grado''' o '''ecuación cuártica''' con una incógnita es una [[ecuación algebraica]]<ref>Las ecuaciones algebraicas llevan polinomios con coeficientes racionales</ref> que asume la llamada ''' forma canónica''':
{{teorema
|título= Ecuación de cuarto grado
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En un cuerpo '''algebraicamente cerrado''', se sabe que todo [[polinomio]] de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el [[Teorema Fundamental del Álgebra]].
 
El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés [[René Descartes]] (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geométrie". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos son: método de [[Ludovico Ferrari|Ferrari]], método de [[René Descartes|Descartes]], método de [[Leonhard Euler|Euler]], método de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], entre otros.
 
=== Ecuación cuártica en cuerpo finito ===
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: <math>x=4</math>
 
Mediante la [[división sintética]] queda <math>(x+ 1)(x^3- x^2 )-240 = 0</math><ref>Kostrikin: Introducción al Álgebra, editoriaL Mir, Moscú, (1983)</ref>
 
=== Características ===
* Si el término independiente tiene signo - tiene por lo menos una raíz real.
* Si el número complejo <math> z = a+bi </math> es la raíz de una ecuación cuártica, también lo es su conjugado <math> z' = a-bi </math>.
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Multiplicamos las ecuaciones del sistema reciente, obtenemos:
 
: <math> 4\beta\gamma = \alpha^4 + 2j\alpha^2 + j^2\alpha - \frac{k^2}{\alpha^2} </math>
 
Nos damos cuenta de que existe <math>\beta\gamma</math>, por tanto lo reemplazamos por <math>l</math>:
 
: <math> 4l = \alpha^4 + 2j\alpha^2 + j^2\alpha - \frac{k^2}{\alpha^2} </math>
 
Pasamos <math>4l</math> al otro miembro de la igualdad con signo opuesto, esto da:
 
: <math> \alpha^4 + 2j\alpha^2 + j^2\alpha - \frac{k^2}{\alpha^2} - 4l = 0 </math>
 
Como hay un término fraccionario, procuramos multiplicar la ecuación por <math>\alpha^2</math>:
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== Ecuaciones bicuadradas ==
EstasÉstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:
:<math> ax^4 + bx^2 + c = 0 </math>
 
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el [[cambio de variable]] <math> x^2=t</math>, <brcon />lo que nos queda:
 
Con lo que nos queda: <math> at^2 + bt + c = 0 </math>
 
El resultado resulta ser una [[ecuación de segundo grado]] que podemos resolver usando la fórmula:
<center><math> t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
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}}
 
* Otro caso particular: Ecuaciones cuasisimétricas {{cr}}.
 
El siguiente tipo de ecuación
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este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre <math>a_0</math>.
 
Las ecuaciones cuasi simétricascuasisimétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, y <math>x_3</math>,<math>x_4</math> son las raíces de la ecuación, entonces <math>x_1 x_2 = m</math>. Dado que el producto de las 4 raíces es <math>m^2</math>, entonces <math>x_3 x_4 = m</math> necesariamente.
 
== Ecuaciones simétricas de cuarto grado ==