Diferencia entre revisiones de «Fibrado principal»

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[[espacio de Hausdorff]] y posiblemente [[paracompacto]]).
 
Se sigue que las [[órbita (teoría de grupos)|órbitas]] de la <math>G</math>-acción son precisamente las fibras del fibrado y el espacio de órbitas es [[homeomorfo]] al espacio homogéneo <math>P/G</math>.
<math>G</math>-acción
son precisamente las fibras del fibrado y el espacio de órbitas es
[[homeomorfo]] al espacio homogéneo <math>P/G</math>.
 
Un <math>G</math>-fibrado principal puede también ser caracterizado como un <math>G</math>-fibrado <math> \pi: P \to X</math> con fibra <math>G</math> donde el grupo de la estructura actúa en la fibra por la multiplicación a izquierda. Puesto que la multiplicación a derecha por <math>G</math> en la fibra conmuta con la acción del grupo estructural, existe una noción invariante de multiplicación a
Un <math>G</math>-fibrado principal puede también ser
caracterizado como un <math>G</math>-fibrado <math> \pi: P \to X</math>
con fibra <math>G</math> donde el grupo de la estructura actúa en la
fibra por la multiplicación a izquierda. Puesto que la multiplicación
a derecha por <math>G</math> en la fibra conmuta con la acción del
grupo estructural, existe una noción invariante de multiplicación a
derecha de <math>G</math> sobre <math>P</math>.
 
La noción de fibrado principal se puede extender a la [[teoría de categorías|categoría]] de las[[variedad (matemática)|variedades diferenciables]], requiriendo que <math>\pi: P \to X</math> sea una aplicación diferenciable entre variedades, <math>G</math> un [[grupo de Lie]] y que la acción de <math>G</math> sobre <math>P</math> sea diferenciable.
La noción de fibrado principal se puede extender a la
[[teoría de categorías|categoría]] de las
[[variedad (matemática)|variedades diferenciables]], requiriendo que
<math>\pi: P \to X</math> sea una aplicación diferenciable entre
variedades, <math>G</math> un [[grupo de Lie]] y que la acción
de <math>G</math> sobre <math>P</math> sea diferenciable.
 
== Ejemplos ==
El ejemplo más común de un fibrado principal diferenciable es el [[fibrado de referencias]], también llamado fibrado de marcos, de una variedad <math>M</math>. La fibra sobre un punto <math>x \in M </math> es el sistema de todos las referencias (es decir bases ordenadas) del
 
[[espacio tangente]] <math>T_xM</math>. El [[grupo general lineal]] <math>GL(n,\mathbb R)</math> actúa en forma simple y transitiva sobre el conjunto de bases. Estas fibras se pueden unir de manera natural para obtener un <math>GL(n,\mathbb R)</math>-fibrado principal sobre
El ejemplo más común de un fibrado principal
diferenciable es el [[fibrado de referencias]], también llamado fibrado de marcos, de una variedad <math>M</math>.
La fibra sobre un punto <math>x \in M </math>
es el sistema de todos las referencias (es decir bases ordenadas) del
[[espacio tangente]] <math>T_xM</math>. El [[grupo general lineal]]
<math>GL(n,\mathbb R)</math> actúa en forma simple y transitiva
sobre el conjunto de bases.
Estas fibras se pueden unir de manera natural
para obtener un <math>GL(n,\mathbb R)</math>-fibrado principal sobre
<math>M</math>.
 
Variaciones en el ejemplo anterior incluyen el [[fibrado de referencias ortonormales]] de una [[variedad riemanniana]]. Aquí las referencias deben ser bases ortonormales respecto a la [[métrica]]. El grupo estructural es el [[grupo ortogonal]] <math>O(n)</math>.
Variaciones en el ejemplo anterior
incluyen el [[fibrado de referencias ortonormales]] de una
[[variedad riemanniana]]. Aquí las referencias deben ser bases
ortonormales respecto a la [[métrica]].
El grupo estructural es el [[grupo ortogonal]] <math>O(n)</math>.
 
Si <math>X</math> es un espacio topológico y <math> p: C \to X</math> es un [[cubrimiento]] normal (regular), esto último puede ser considerado un fibrado principal donde el grupo estructural <math> \pi_1(X) /p_{*}\pi_1(C) </math> actúa sobre <math>C</math> vía la acción de monodromía. En particular, el [[espacio recubridor|cubrimiento universal]] de un espacio topológico <math>X</math> es un fibrado principal sobre <math>X</math> con grupo estructural <math> \pi_1(X) </math>.
Si <math>X</math> es un espacio topológico y <math> p: C \to X</math>
es un [[cubrimiento]] normal (regular), esto último puede ser considerado
un fibrado principal
donde el grupo estructural <math> \pi_1(X) /p_{*}\pi_1(C) </math>
actúa sobre <math>C</math> vía la acción de monodromía.
En particular, el [[espacio recubridor|cubrimiento universal]] de un espacio topológico
<math>X</math> es un fibrado principal sobre <math>X</math> con
grupo estructural <math> \pi_1(X) </math>.
 
Sean <math>G</math> un grupo de Lie y <math>H</math> un subgrupo cerrado (no necesariamente [[subgrupo normal|normal]]). Entonces <math>G</math> es un <math>H</math>-fibrado principal sobre el [[Topología cociente|espacio cociente]] (izquierdo) <math>G/H</math>. Aquí la
acción de <math>H</math> en <math>G</math> es la multiplicación a derecha. Las fibras son los coconjuntos a izquierda de <math>H</math> (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a <math>H</math>).
un subgrupo cerrado (no necesariamente [[subgrupo normal|normal]]).
Entonces <math>G</math> es un <math>H</math>-fibrado principal sobre el
[[Topología cociente|espacio cociente]] (izquierdo) <math>G/H</math>. Aquí la
acción de <math>H</math> en <math>G</math> es la multiplicación
a derecha. Las fibras son los coconjuntos a izquierda de
<math>H</math> (en este caso hay una fibra distinguida, la que
contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a
<math>H</math>).
 
Consideremos la proyección <math>\pi:S^1 \to S^1</math>
a la [[banda de Moebius]].
 
Los [[espacio proyectivo|espacios proyectivos]] proporcionan ejemplos interesantes de fibrados principales. Recordemos que la <math>n</math>-[[esfera]] <math>S^n</math>es un cubrimiento doble del [[espacio proyectivo real]] <math>\mathbb R \mathbb P^n</math>.
La acción natural de <math>O(1)</math> sobre <math>S^n</math> da la estructura de <math>O(1)</math>-fibrado principal sobre <math>\mathbb R \mathbb P^n</math>. Asimismo, <math>S^{2n+1}</math> es un <math>U(1)</math>-fibrado principal sobre <math>\mathbb C \mathbb P^n</math> y
ejemplos interesantes de fibrados principales. Recordemos que
la <math>nS^{4n+3}</math>-[[esfera]] es un <math>S^nSp(1)</math>-fibrado principal sobre el [[espacio proyectivo cuaterniónico]]
<math>\mathbb H \mathbb P^n</math>. Entonces tenemos una serie de fibrados principales para cada entero positivo
es un cubrimiento doble del
[[espacio proyectivo real]] <math>\mathbb R \mathbb P^n</math>.
La acción natural de <math>O(1)</math> sobre <math>S^n</math>
da la estructura de <math>O(1)</math>-fibrado principal
sobre <math>\mathbb R \mathbb P^n</math>.
Asimismo, <math>S^{2n+1}</math> es un
<math>U(1)</math>-fibrado principal sobre
<math>\mathbb C \mathbb P^n</math> y
<math>S^{4n+3}</math> es un
<math>Sp(1)</math>-fibrado principal sobre el
[[espacio proyectivo cuaterniónico]]
<math>\mathbb H \mathbb P^n</math>. Entonces tenemos
una serie de fibrados principales para cada entero positivo
<math>n</math>:
 
 
== Trivializaciones y secciones ==
Una de las preguntas más importantes con respecto a un espacio fibrado es si es o no un [[fibrado trivial]] (es decir isomorfo a un fibrado producto). Para los fibrados principales hay una caracterización conveniente de la trivialidad:
 
Una de las preguntas más importantes con respecto a un espacio
fibrado es si es o no un [[fibrado trivial]] (es decir isomorfo a
un fibrado producto). Para los fibrados principales hay una
caracterización conveniente de la trivialidad:
 
: '''Teorema'''. ''Un fibrado principal es trivial si y solamente si admite una sección global.''
 
Este resultado no es cierto para fibrados en general. En particular los [[fibrado vectorial|fibrados vectoriales]], por ejemplo, tienen siempre la sección cero, sean triviales o no.
los [[fibrado vectorial|fibrados vectoriales]], por ejemplo, tienen
siempre la sección cero, sean triviales o no.
El mismo teorema se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea <math>\pi:P \to X</math> un <math>G</math>-fibrado principal. Un [[conjunto abierto]] <math>U</math> en <math>X</math> admite una trivialization local si y solamente si existe una sección local en <math>U</math>. Dado una trivialización local
El mismo teorema se aplica a las trivializaciones locales
<math> \phi: \pi^{- 1}(U) \to U \times G</math> podemos definir una sección local asociada
de fibrados principales. Sea <math>\pi:P \to X</math>
un <math>G</math>-fibrado principal. Un [[conjunto abierto]]
<math>U</math> en <math>X</math> admite una
trivialization local si y solamente si existe una sección local
en <math>U</math>. Dado una trivialización local
<math> \phi: \pi^{- 1}(U) \to U \times G</math>
podemos definir una sección local asociada
:<math>s: U \to \pi^{- 1}(U)</math>,
:<math>s(x) := \phi^{- 1}(x,e)</math>
definir una trivialización <math>\phi</math> por
: <math> \phi^{- 1} (x,g) = s(x)\cdot g</math>
El hecho de que <math>G</math> actúa en forma simple y transitiva garantiza que esta aplicación es una [[biyección]]. Es posible comprobar
que también es un [[homeomorfismo]]. Los trivializaciones locales definidas por una sección local son
garantiza que esta aplicación es una [[biyección]]. Es posible comprobar
que también es un [[homeomorfismo]]. Los trivializaciones locales
definidas por una sección local son
<math>G</math>-[[equivariante]]s en el sentido siguiente:
si escribimos
la aplicación <math>\varphi</math> viene dada por
:<math>\varphi(s(x)\cdot g) = g.</math>
La versión local del teorema de la sección entonces indica que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia con las secciones locales.
La versión local del teorema
de la sección entonces indica que las
trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal
están en correspondencia con las secciones locales.
Sea <math>(\{U_i\}, \{\phi_i\})</math> una trivialización local equivariante
 
== Caracterización de fibrados principales diferenciables ==
Si <math>\pi: P \to X</math> es un <math>G</math>-fibrado principal diferenciable, entonces <math>G</math> actúa en forma propia y libre
 
 
Si <math>\pi: P \to X</math> es un <math>G</math>-fibrado principal
diferenciable, entonces <math>G</math> actúa en forma propia y libre
en <math>P</math> de modo que el espacio de órbitas <math>P/G</math>
es [[difeomorfismo|difeomorfo]] al espacio base <math>X</math>. Resulta que esto caracteriza completamente a los fibrados principales diferenciables. Esto es, si <math>P</math> es una variedad diferenciable, <math>G</math> es un grupo de Lie y
<math>\mu:P\times G \to P</math> una acción a derecha diferenciable, libre y propia entonces
Resulta que esto caracteriza completamente a los fibrados
principales diferenciables. Esto es, si <math>P</math> es una
variedad diferenciable, <math>G</math> es un grupo de Lie y
<math>\mu:P\times G \to P</math> una acción a derecha diferenciable,
libre y propia entonces
* <math>P/G</math> (espacio cociente por la acción <math>\mu</math>) es una variedad diferenciable,
* la proyección natural <math>\pi:P \to P/G</math> es una [[sumersión (matemáticas)|sumersión]], y
 
== Reducción del grupo estructural ==
Sea <math>\pi: P \to X</math> es un <math>G</math>-fibrado principal. Dado un subgrupo
 
Sea <math>\pi: PH \tosubset XG</math>, espodemos unconsiderar el fibrado <math>GP/H</math>-fibrado principal.cuyas fibras son los
Dado un subgrupo
<math>H \subset G</math>, podemos considerar el
fibrado <math>P/H</math> cuyas fibras son los
[[coconjunto]]s
<math>G/H</math>. Si el nuevo fibrado admite una sección global, diremos que la sección es una '''reducción del grupo estructural de <math>G</math> al de <math>H</math>.''' En particular, si el <math>H</math> es la identidad, entonces una reducción de <math>G</math> a la identidad es equivalente a tener una sección global del fibrado original, lo cual es equivalente a que el fibrado sea trivial. En general no existen las reducciones del grupo estructural.
<math>G/H</math>. Si el nuevo fibrado admite una sección global,
diremos que la sección es una '''reducción del grupo estructural de <math>G</math> al de <math>H</math>.'''
En particular, si el <math>H</math> es la identidad,
entonces una reducción de <math>G</math> a la identidad es equivalente a tener una
sección global del fibrado original, lo cual es equivalente a que el fibrado
sea trivial. En general no existen las reducciones del grupo
estructural.
 
Muchas preguntas sobre la estructura topológica de un fibrado se pueden reformular como preguntas sobre la admisibilidad
de la reducción del grupo estructural. Por ejemplo:
se pueden reformular como preguntas sobre la admisibilidad
de la reducción del grupo estructural.
Por ejemplo:
* Una variedad real <math>2n</math>-dimensional admite una [[estructura compleja]] si el [[fibrado de marcos]] correspondiente a la variedad, cuyas fibras son <math>GL(2n,\mathbb{R})</math>, puede ser reducido al grupo <math>GL(n,\mathbb{C}) \subset GL(2n,\mathbb{R}).</math>
* Una variedad <math>n</math>-dimensional admite <math>n</math> campos vectoriales linealmente independientes en cada punto si su [[fibrado del marcos]] es [[paralelizable]], es decir, si el fibrado de marcos admite una sección global.
 
== Véase también ==
 
* [[fibrado asociado]]
* [[fibrado vectorial]]
 
== Referencias ==
 
*{{cita libro | nombre = David | apellidos = Bleecker | título = Gauge Theory and Variational Principles | año = 1981 | editorial = Addison-Wesley Publishing | id = ISBN 0-486-44546-1 (Dover edition)}}
*{{cita libro | nombre = Jürgen | apellidos = Jost | título = Riemannian Geometry and Geometric Analysis | año = 2005 | edición = (4th ed.) | editorial = Springer | ubicación = New York | id = ISBN 3-540-25907-4}}
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