Diferencia entre revisiones de «Geometría diferencial»
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En [[matemáticas]], la '''geometría diferencial''' es el estudio de la [[geometría]] usando las herramientas del [[análisis matemático]] y del [[álgebra multilineal]]. Los objetos de estudio de este campo son las [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]],
Mientras que la [[topología diferencial]] se centra únicamente en las propiedades [[Topología|topológicas]] de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del [[cálculo multivariable]] a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades [[geometría|geométricas]] tales como [[distancia]]s y [[ángulo]]s si se le dota de una [[métrica de Riemann]]; y características como [[geodésica]]s y [[curvatura]] si se añade una [[Conexión (matemática)|conexión]].{{sfn|Tu|2017||c=Prefacio|p=v}}
La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en [[física]], especialmente en el estudio de la [[teoría de la relatividad general]], donde el [[espacio-tiempo]] se describe como una variedad diferenciable.
{{AP|Geometría diferencial de curvas|Geometría diferencial de superficies}}
== Variedades diferenciables ==
{{AP|Variedad diferenciable}}
Una [[Variedad (matemáticas)|variedad]] es un objeto matemático que generaliza las nociones de [[curva]]s y [[Superficie (matemática)|superficies]] a objetos de más de dos dimensiones, no necesariamente embebidos en el [[espacio euclídeo]]. De forma intuituva, una variedad <math>M</math> es un conjunto que localmente es similar al espacio euclideo <math>\R^n</math> de [[dimensión]] <math>n</math>, para cierto entero positivo <math>n</math> que se denomina ''dimensión de la variedad''.
El modo de describir esta relación entre ambos conjuntos es por medio de colecciones de funciones, llamadas [[Carta (matemática)|cartas]]. A la colección de estas cartas se le denomina [[Atlas (matemáticas)|atlas]]. Un atlas <math>\mathcal{A}</math> para una variedad <math>M</math> es una colección de pares <math>\mathcal{A} = \{ (U_\alpha, \varphi_\alpha): \alpha \in I \} </math>, donde
* cada conjunto <math>U_\alpha \subset M</math> es un entorno abierto de la variedad.
* la unión de todos los abiertos <math>U_\alpha</math> [[Recubrimiento (matemática)|recubre]] <math>M</math>: <math>\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M</math>.
* cada función <math>\varphi_\alpha : U_\alpha \to V_\alpha \subset \R^n</math> es [[biyección|biyectiva]].
A las funciones <math>\varphi_\alpha</math> se les denomina funciones de [[coordenadas]]. Para cada par de índices <math>\alpha, \beta \in I</math>, la función
::<math>\tau_{\alpha,\beta} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} : (V_\alpha \cap V_\beta) \to (V_\alpha \cap V_\beta)</math>
está bien definida cuando las imágenes de ambas cartas tienen intersección no vacía. Estas funciones se denominan ''funciones de transición'', y son [[Cálculo multivariable|funciones reales de varias variables]], cuyas propiedades son bien conocidas. Dependiendo de qué propiedades tengan estas funciones, hablaremos de un tipo de variedad o de otra.
Sobre la base de una variedad <math>M</math> se pueden definir niveles sucesivos de estructura que añaden propiedades adicionales. En general, estas dependen de las propiedades que son conservadas por las funciones de transición; en otros casos es necesario especificar la estructura adicional de forma explícita:
* Estructura de [[variedad topológica]], si se define una [[topología]] en <math>M</math> que sea compatible con las cartas (es decir, que las funciones de coordenadas sean [[homeomorfismo]]s). Se suele requerir también que <math>M</math> sea un [[espacio de Hausdorff]] y que satisfaga el [[segundo axioma de numerabilidad]].{{sfn|Tu|2011|p=48}}
* Estructura de [[variedad diferenciable]], si el atlas es diferenciable, es decir, las funciones de transición son [[función diferenciable|diferenciables]]. En tal caso se dice que las funciones de transición son ''compatibles''; la compatibilidad de cartas es una [[relación de equivalencia]].{{sfn|Tu|2011|p=49-51}} Análogamente se pueden definir variedades analíticas y variedades dianalíticas (sobre <math>\C</math> y <math>\C^+</math>).
* una [[Geometría de Riemann|métrica Riemanniana]], que es un [[producto interior]] definido para cada [[espacio tangente]], y que varía suavemente de un punto a otro. Esta estructura permite definir las nociones de [[distancia]] y de [[ángulo]] en la variedad.
* una [[Conexión (matemática)|conexión]] especifica la manera de conectar el entorno de un punto con el entorno de otro. Permite definir un tipo de [[Derivación (matemática)|derivación]] de interés en geometría diferencial: la [[derivada covariante]].
== Aplicaciones diferenciables entre variedades ==
Cuando dos variedades tienen estructura de [[variedad diferenciable]], entonces podemos definir la noción de aplicación diferenciable entre ellas. Sean dos variedades <math>M</math> y <math>N</math>, de dimensiones <math>m</math> y <math>n</math>, con estructura diferenciable respecto de los atlas <math>\{ (U_\alpha, \varphi_\alpha): \alpha \in I \}</math> y <math>\{ (W_\beta, \psi_\beta): \beta \in J \}</math>.
Se dice que una aplicación <math>f : M \to N</math> es '''diferenciable en un punto ''p''''' si para todo par de cartas <math> (U_\alpha, \varphi_\alpha)</math> y <math> (W_\beta, \psi_\alpha)</math>, centradas en ''p'' y en ''f(p)'' respectivamente, la composición
::<math>F= \psi_\beta \circ f \circ \varphi_\alpha^{-1} : V_\alpha \to W_\beta</math>
es [[Función diferenciable|diferenciable como función multivariable]] <math>F : V_\alpha \subset \R^m \to W_\beta \subset \R^n</math>. Se dice que la aplicación es ''diferenciable''' si es diferenciable en todo punto de <math>M</math>. El que las funciones de transición sean diferenciables garantiza que la definición no dependa de las cartas elegidas.{{sfn|Tu|2011|p=61}}
Se tienen las siguientes propiedades:
* La [[Composición de funciones|composición]] de dos funciones diferenciables es diferenciable.
* Las funciones de coordenadas son diferenciables, y por tanto [[difeomorfismo]]s.{{sfn|Tu|2011|p=63}}
== Variedades tangentes ==
{{AP|Fibrado tangente}}
==Véase también==
* [[topología diferencial]].
▲**[[Geometría diferencial de variedades]].
* '''Construcciones técnicas''' útiles en geometría diferencial:
Línea 20 ⟶ 58:
**[[Teoría de gauge]]
**[[tensor de curvatura]]
* '''Áreas de Matemáticas relacionadas'''
*[[Cálculo infinitesimal]]
*[[Ecuaciones diferenciales]]
*[[Análisis funcional]],
* [[Geometría analítica]]
* [[Geometría algebraica]] * [[Geometría simpléctica]]. == Referencias==
{{Listaref}}
===Bibliografía===
*{{ Cita libro
| apellido = do Carmo
| nombre = Manfredo P.
| título = Differential Geometry of Curves and Surfaces
| editorial = Dover
| año = 2016
| edición = 2ª
}}
*{{ Cita libro
| apellido = Tu
| nombre = Loring
| título = An Introduction to Manifolds
| editorial = Springer
| año = 2011
| edición = 2ª
}}
*{{ Cita libro
| apellido = Tu
| nombre = Loring
| título = Differential Geometry
| editorial = Springer
| año = 2017
}}
*{{ Cita libro
| apellido = Warner
| nombre = Frank W.
| título = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups
| editorial = Springer
| año =1983
}}
== Enlaces externos ==
* [https://web.archive.org/web/20120704112957/http://forja.rediris.es/frs/download.php/1923/VTF-1_1_0.pdf Curso avanzado de geometría diferencial], por Álvaro Tejero Cantero y Marta Balbás Gambra (con [[Creative Commons|licencia libre]]).
* {{MathWorld|DifferentialGeometry|Differential Geometry}}
{{Control de autoridades}}
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