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Diferencia entre revisiones de «Isomorfismo de grupos»

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repaso general y referencias. Traslado las demostraciones de teoremas a Teoremas de isomorfía donde son más relevantes
Línea 1:
En [[teoría de grupos]], se dice que dos '''[[Grupo (matemáticas)|grupos]]''' son '''isomorfos''' o '''isomórficos''' si existe un [[isomorfismo]] entre ellos, es decir, un [[homomorfismo de grupos]] [[Función biyectiva|biyectivo]]. Desde elun punto de vista de la teoría de gruposabstracto, los grupos isomórfosisomorfos tienen lasla misma estructura y mismas propiedades y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al [[conjunto]] subyacente, lossus elementos y la [[Operación interna|operación,]].<ref>{{Cita porweb|url=https://brilliant.org/wiki/group-isomorphism-theorems/|título=Group esteIsomorphism motivoTheorems no{{!}} esBrilliant necesarioMath distinguirlos& entreScience síWiki|fechaacceso=10 de junio de 2019|sitioweb=brilliant.org|idioma=en-us}}</ref>
 
El isomorfismo de grupos es una [[relación de equivalencia]], y por tanto permite clasificar los grupos «salvo isomorfismo». Cuando dos grupos son isomorfos, se dice que pertenecen a la misma '''clase de isomorfía''' o que tienen el mismo '''tipo de isomorfismo'''.{{sfn|Dummit|Foote|2004|p=37}}
Un isomorfismo entre dos grupos <var>G<sub>1</sub></var> y <var>G<sub>2</sub></var> significa (informalmente) que <var>G<sub>1</sub></var> y <var>G<sub>2</sub></var> están en el mismo grupo, escrito de dos maneras diferentes.<ref>{{Cita web|url=https://brilliant.org/wiki/group-isomorphism-theorems/|título=Group Isomorphism Theorems {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|fechaacceso=10 de junio de 2019|sitioweb=brilliant.org|idioma=en-us}}</ref>
 
__TDC__
 
== Definición ==
Un Homorfismo de grupo <math>\phi : G\longrightarrow \bar G </math> se dice Isomorfo si y sólo si si <math>\phi</math> es una biyección.
 
EnUna tal[[Función situaciónmatemática|aplicación]] diremos<math>\phi : G \longrightarrow \bar G </math> queentre los grupos <math>(G, \cdot)</math> y <math>(\bar G, *)</math> sones isomorfosun y'''isomorfismo lode denotamosgrupos''' por:si se cumplen las dos condiciones siguientes:{{sfn|Dummit|Foote|2004|p=37}}
# <math>\phi</math> es un [[homomorfismo de grupos]]: para todo par de elementos <math>x,y \in G</math> se cumple que <math>\phi(x \cdot y) = \phi(x) * \phi(y)</math>.
# <math>\phi</math> es una [[biyección]]: hace corresponder de manera biunívoca los elementos de <math>G</math> con los de <math>\bar G</math>.
 
:En tal situación se dice que los grupos <math>G</math> y <math>\bar G</math> son isomorfos y se denota por <math>G \thickapprox \bar G </math>.
 
=== PropiedadesEjemplos ===
 
* El grupo [[Multiplicación|multiplicativo]] de los [[Número real|reales]] positivos y el grupo [[Adición|aditivo]] de los reales son isomorfos bajo la aplicación exponencial: <math>f(x) = e^x</math>.
=== Aplicación inversa ===
* El [[grupo diedral]] del triángulo ''D<sub>3</sub>'' y el grupo de [[Permutación|permutaciones]] de tres elementos ''S<sub>3</sub>'' son isomorfos.
Sea <math>\phi :</math> <math>G\longrightarrow \bar G </math> isomorfo entonces la aplicación inversa <math>\phi</math><math>^{-1}:</math><math>\bar G \longrightarrow G </math> es isomorfo.<ref name=":0">{{Cita publicación|url=http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/lico_algebra.pdf|título=A L G E B R A: Estructuras Algebraicas|apellidos=Rivero|nombre=Francisco|fecha=|publicación=|fechaacceso=10 de junio de 2019|doi=|pmid=}}</ref>
* El [[grupo de Klein]] ''V'' (de las simetrías de un [[rectángulo]]) es isomorfo al [[producto directo]] ''C<sub>2</sub> &times; C<sub>2</sub> ''.
{{Demostración|
* Dado un [[número primo]] ''p'', todos los grupos de [[Orden (teoría de grupos)|orden]] ''p'' son isomorfos entre sí.
En efecto, sea <var>y<sub>1</sub></var> y <var>y<sub>2</sub></var> <math>\in\bar G</math>, luego existen <var>x<sub>1</sub></var>, <var>y<sub>2</sub></var> <math>\in G</math> tales que
:<math> y_1 = \phi (x_1) </math>, <math> y_2 = \phi (x_2) </math>
luego
:<math> \phi ^{-1} (y_1 y_2) = \phi ^{-1} (\phi(x_1) \phi(x_2)) </math>
:<math> \phi ^{-1} (y_1 y_2) = \phi ^{-1} (\phi (x_1 x_2)) </math>
:<math> \phi ^{-1} (y_1 y_2) = x_1 x_2</math>
:<math> \phi ^{-1} (y_1 y_2) = \phi ^{-1} (y_1) \phi ^{-1} (y_2)</math>
}}
=== Composición ===
Sean <math>G, \bar G </math> y <math>\bar \bar G </math> tres grupos y
 
== Equivalencia de grupos isomorfos ==
<math>\phi :G\longrightarrow \bar G </math> y ψ:<math>\bar G \longrightarrow G </math> isomorfos
 
Los isomorfismos de grupos permiten describir una [[relación matemática]], que se puede expresar como: «el grupo ''G'' es isomorfo al grupo ''H''» si existe un isomorfismo <math> G \to H</math>. Esta relación es una [[relación de equivalencia]]:
entonces:
 
* es reflexiva: Todo grupo ''G'' es isomorfo a sí mismo bajo la [[función identidad]] <math>id_G : G \to G : x \mapsto x</math>. Esta función es obviamente una biyección, y es un homomorfismo, pues
<math> \phi \psi </math>: <math>G\longrightarrow \bar \bar G </math> es también un isomorfo.<ref name=":0" />
:<math> id_G (x \cdot y) = x \cdot y = id_G (x) \cdot id_G(y)</math>.
* es simétrica: si ''G'' es isomorfo a ''H'' entonces ''H'' es isomorfo a ''G''. Dado un isomorfismo <math>\phi: G \to H</math>, la [[aplicación inversa]] <math>\phi^{-1}: H \to G </math> es también un isomorfismo.<ref name=":0">{{Cita publicación | url = http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/lico_algebra.pdf | título = A L G E B R A: Estructuras Algebraicas | apellidos = Rivero | nombre = Francisco |fechaacceso = 10 de junio de 2019}}</ref>
{{Demostración|
Sean Dados <var>xy<sub>1</sub></var>, <var>y<sub>2</sub></var> <math>\in H</math> cualesquiera, existen <var>yx<sub>1</sub></var>, <var>x<sub>2</sub></var> <math>\in G</math>, entoncestales que
:<math> y_1 = \phi (x_1) </math>, <math> y_2 = \phi (x_2) </math>
por ser <math>\phi</math> biyectiva. Por tanto
luego
:<math> \begin{align}
:<math> \psi \phi (xy) = \psi (\phi (xy)) </math>
:<math> \psi \phi ^{-1} (xyy_1 y_2) & = \psiphi ^{-1} (\phi (xx_1) \phi (yx_2)) </math> \\
:<math> & \psi= \phi (xy) = \psi^{-1} (\phi (xx_1 x_2)) \psi (\phi (y)) </math>
& = x_1 x_2 \\
:<math> \psi \phi (xy) = \psi \phi (x) \psi \phi (y) </math>
& = \phi ^{-1} (y_1) \phi ^{-1} (y_2)
luego <math> \psi \phi </math> es un homomorfismo. Como <math>\phi </math> y <math>\psi </math> son aplicaciones biyectivas entonces <math> \psi \phi </math> es biyectiva. Por lo tanto <math> \psi \phi </math> es un isomorfo.
\end{align}</math>
}}
* es transitiva: si ''G'' es isomorfo a ''H'' y ''H'' es isomorfo a ''K'' entonces ''G'' es isomorfo a ''K''. Sean <math>(G, \cdot), \ (H, *)</math> y <math>(K, \times)</math> tres grupos, y sean <math>\phi:G \to H</math> y <math>\psi : H \to K</math> isomorfismos. Entonces la [[Composición de funciones|composición]] <math>\psi \circ \phi : G \to K</math> es también un isomorfismo.
{{Demostración|
Dados <var>x</var>, <var>y</var> <math>\in G</math> cualesquiera, entonces
:<math> \begin{align}
(\psi \circ \phi) (x \cdot y) & = \psi (\phi (x \cdot y)) \\
& = \psi (\phi (x) * \phi (y)) \\
& = \psi (\phi (x)) \times \psi (\phi (y)) \\
& = (\psi \circ \phi) (x) \times (\psi \circ \phi) (y)
\end{align}</math>
luego <math> \psi \circ \phi </math> es un homomorfismo. Como <math>\phi </math> y <math>\psi </math> son aplicaciones biyectivas entonces su composición es biyectiva. Por tanto <math> \psi \circ \phi </math> es un isomorfismo.
}}
 
== Teoremas de isomorfismo de grupos ==
{{AP|HomomorfismoTeoremas de gruposisomorfía}}
 
Existen tres teoremas, formulados por [[Emmy Noether]], que relacionan [[grupo cociente|cocientes]], [[Subgrupo normal|subgrupos normales]] y [[homomorfismos]], y que tienen análogos para la mayoría de [[Estructura algebraica|estructuras algebraicas]].{{sfn|Rotman|1999|c=The Isomorphism Theorems}}
=== Teoremas de isomorfismo ===
 
* El primeraprimer teorema es un caso particular del [[teorema fundamental de homomorfismos]]:
{{teorema|Sea <math>\phif : G \longrightarrow \bar G'</math> un homomorfismo de grupos., Concon núcleo <math>ker \phi f = K \triangleleft G</math>. Entonces
<math>G/K \thickapprox im \bar f \leq G.'</math>.}}
{{Demostración|
Consideremos el siguiente diagrama.
[[File:Demostracion 1 teorema.png|thumb|Demostración Primer Teorema de Isomorfismo]]
donde
:<math> \pi : G\longrightarrow G/K </math>
:<math>g\longrightarrow K_g </math>
es la aplicación de la proyección
 
* Segundo teorema:
Definimos
{{teorema|Si <math>N</math> y <math>H</math> son subgrupos de un grupo <math>G</math>, con <math>N</math> [[Subgrupo normal|normal]] en <math>G</math>, entonces <math>NH</math> es un subgrupo de <math>G</math>, <math>N \cap H</math> es normal en <math>H</math> y <math>H/(N \cap H)\cong (NH)/N</math>.}}
 
* Tercer teorema:
:<math> \phi : G/K\longrightarrow \bar G </math>
{{teorema|Si <math>N</math> y <math>H</math> son subgrupos normales de un grupo <math>G</math>, con <math>N\subseteq H</math>, entonces <math>G/H \cong (G/N)/(H/N)</math>.}}
:<math>K_g\longrightarrow \psi (g) </math>
Sea <math>\psi </math> bien definida
:<math>Kg_1 = Kg_2 </math> entonces <math>g_1 g_2 ^{-1} \in K </math>
luego
:<math>\phi (g_1 g_2 ^{-1}) = \bar e</math>
y de esto se deduce
:<math>\phi (g_1) = \phi (g_2)</math>,
lo cual implica
:<math>\psi (Kg_1) = \psi (Kg_2)</math>
<math>\psi</math> es un homorfismo
:<math>\psi (Kg_1 Kg_2) = \psi (K_g1g2)</math>
:<math> = \phi (g1g2)</math>
:<math> = \phi(g1)\phi(g2)</math>
:<math> = \psi(Kg_1)\psi(Kg_2)</math>
<math>\psi</math> es uno a uno
Sea <math>Kg \in ker\phi</math> luego
esto implica que <math>g \in ker\phi = K</math>.
Luego <math> Kg = K</math>, elemento neutro en <math> G/K</math>
<math> = \psi</math> sobreyectiva
 
== Grupos de automorfismos ==
Sea <math>\bar g \in \bar G </math>, existe <math>Kg \in G/K</math> tal que
:<math> = \psi (Kg) = \bar g</math>
como <math> = \phi</math> es sobreyectiva, existe <math> g \in G </math>
:<math> = \phi (g) = \bar g</math>
luego tenemos
:<math> = \psi (Kg) = \phi (g) = \bar g</math> por tanto <math>\psi</math> es sobreyectiva
 
En general, un homomorfismo es una función entre dos grupos distintos. Sin embargo, dado un grupo ''G'' es posible definir [[Morfismo#Endomorfismos y automorfismos|endomorfismos]]: funciones de la forma <math>\phi : G \to G</math> que son homomorfismos de ''G'' en sí mismo. No todos son biyectivos, pero cuando lo son decimos que <math>\phi</math> es un [[automorfismo]].
Con esto se demuestra que <math>\psi</math> es isomorfismo
}}
 
El conjunto de automorfismos de un grupo ''G'', junto con la operación de [[composición de funciones]], tiene estructura de grupo, que se denomina '''grupo de automorfismos''' de ''G'', y se denota '''Aut(G)'''. Entre estos hay un subgrupo de particular importancia formado por los automorfismos interiores de ''G'', que son aquellos definidos por la [[Conjugación (teoría de grupos)|conjugación]] respecto de un elemento del grupo. Este subgrupo, que es normal, se denota por '''Inn(G)'''. El cociente ''Aut(G)/Inn(G)'' se denomina grupo de automorfismos exteriores, y se denota por '''Out(G)'''.
* Segundo teorema:
{{teorema|Si <math>N</math> y <math>H</math> son subgrupos de un grupo <math>G</math>, con <math>N</math> [[Subgrupo normal|normal]] en <math>G</math>, entonces <math>NH</math> es un subgrupo de <math>G</math>, <math>H \cap N</math> es normal en <math>G</math> y <math>H/(H \cap N)\cong (HN)/N.</math>}}
 
* Tercer teorema:
{{teorema|Si <math>N</math> y <math>H</math> son subgrupos normales de un grupo <math>G</math>, con <math>N\subseteq H</math>, entonces <math>G/H\cong (G/N)/(H/N).</math>}}
 
== Referencias ==
{{listaref}}
 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro | apellido = Dummit | apellido2 = Foote | nombre = David S. | nombre2 = Richard M. | título = Abstract Algebra | edición = 3ª | editorial = Wiley | año = 2004 | isbn = 978-81-265-3228-5 }}
* {{cita libro | apellido = Rotman | nombre = Joseph J. | título = An Introduction to the Theory of Groups | año = 1999 | editorial = Springer | edition = 4ª }}
 
== Enlaces externos ==
 
* {{MathWorld|IsomorphicGroups|Isomorphic Groups}}
# [http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/lico_algebra.pdf Estructuras Algebraicas. Francisco Rivero. Universidad de Los Andes]
 
{{Control de autoridades}}
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