Diferencia entre revisiones de «Teorema de Lagrange (teoría de grupos)»
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m no es solo cierto para subgrupos normales. Error de plantilla. |
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En [[teoría de grupos]], el '''teorema de Lagrange''' es un resultado importante que relaciona el orden de un [[Grupo (matemática)|grupo]] finito <math>G</math> (su número de elementos) con el orden de cualquiera de sus [[subgrupo]]s. El teorema afirma que si <math>G</math> es un grupo finito y <math>H</math> es un subgrupo
{{Ecuación|<math>|G|=|H|[G:H],\,\!</math>|1}}
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donde <math>|G|</math> y <math>|H|</math> son el orden del grupo <math>G</math> y el orden del subgrupo <math>H</math>, en tanto que <math>[G:H]</math> es el [[Índice (Teoría de grupos)|índice]] de <math>H</math> en <math>G</math>.
El recíproco del teorema de Lagrange, en general, no se cumple, pues existen grupos de orden <math>m</math> que pueden no tener un subgrupo de orden <math>n</math> a pesar de que <math>n\mid m</math>. Por ejemplo, el [[Permutación y grupo simétrico|grupo simétrico]] <math>A_4</math> tiene orden
El teorema debe su nombre al matemático italiano [[Joseph-Louis de Lagrange]], quien lo publicó en [[1771]].<ref>{{cita publicación |apellidos= Lagrange |nombre= J.L. |enlaceautor=Joseph-Louis de Lagrange |año=1771 |título= Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs. |títulotrad= Series de reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones. Sección tercera. Sobre la resolución de ecuaciones de quinto y superior grado |url= https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138#v=onepage&q&f=false |publicación= Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin |páginas= 138–254}}; véanse especialmente las [https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA202#v=onepage&q&f=false páginas 202-203.]</ref>
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== Demostración ==
Consideremos
:<math> x \sim_H y \Leftrightarrow x^{-1}y \in H, ~ ~ \forall x,y\in G</math>
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