Diferencia entre revisiones de «Teorema del límite central»
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Correción de Fórmulas |
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Línea 13:
Se define <math>S_n</math> como la suma de <math>n</math> variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con una media <math>\mu</math> y varianza <math>\sigma^2<\infty</math>, es decir
<math>S_n:=X_1+\cdots+X_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i</math>
de manera que, la media de <math>S_n</math> es <math>n\mu</math> y la [[varianza]] es <math>n\sigma^2</math> pues son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de <math>S_n</math> como
Línea 27:
=== Enunciado formal ===
De manera formal
Entonces la función de distribución de <math>Z_n</math> converge hacia la función de distribución normal estándar cuando <math>n\to\infty</math>, es decir,
<math>\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\left(Z_n\leq z\right)=\Phi(z)=\int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx</math>
Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada ''Z''<sub>''n''</sub> en función de la [[Estadístico muestral#Media muestral|media muestral]] <math>\overline{X}_n</math>,
Línea 61 ⟶ 63:
== Varianza nula o infinita ==
En el caso de
{{ecuación|
<math>S_n = \frac{X_1+\dots +X_n}{n}</math>
Línea 72 ⟶ 74:
<math>F_{X_i}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan x </math>
||left}}
En este caso puede demostrarse que la distribución asintótica de
{{ecuación|
<math>F_{S_n}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{n} </math>
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