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La derivada de sinh(''x'') está dada por cosh(''x'') y la derivada de cosh(''x'') es sinh(''x''). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.
== Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas ==
Las [[función recíproca|funciones recíprocas]] y [[derivada]]s de las funciones hiperbólicas son:<ref name=libro1>{{cita libro|apellidos=Purcell|nombre=Edwin J. y otro|título=Cálculo con Geometría Analítica|año=1987|editorial=Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A.|isbn=0-13-111807-2|páginas=868}}</ref>
:<math>\begin{align}
\mbox {arc sinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) &\frac{d}{dx} (\mbox {arc sinh}(x) ) &= \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + 1} } \\
\mbox {arc cosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arc cosh(x)})&=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; x > 1\\
\mbox {arc tanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arc tanh(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| < 1\\
\mbox {arc coth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 & \frac{d}{dx}(\mbox {arc coth(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| > 1 \\
\mbox {arc sech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 & \frac{d}{dx}(\mbox {arc sech(x)})&=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}; 0 < x < 1 \\
\mbox {arc csch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 & \frac{d}{dx}(\mbox {arc csch(x)}) &= \frac{-1}{\left| x \right| \sqrt{1+x^2}}; x \ne 0
\end{align}</math>
== Series de Taylor ==
Las series de Taylor de las [[funciones inversas]] de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:
:<math>\mbox{arg sinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =</math>
:<math>\mbox{arg sinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
</math>
:<math> \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2x - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = </math>
:<math> \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1 </math>
:<math>\mbox{arg tanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =</math>
:<math>\mbox{arg tanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1 </math>
:<math>\mbox{arg csch} (x) = \mbox{arg sinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =</math>
:<math>\mbox{arg csch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 </math>
:<math>\mbox{arg sech} (x) = \mbox{arg cosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) = </math>
:<math>\mbox{arg sech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1 </math>
:<math>\mbox{arg coth} (x) = \mbox{arg tanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =</math>
:<math>\mbox{arg coth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 </math>
== Relación con la función exponencial ==
Éstas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la [[fórmula de Euler]], como suma de exponenciales complejos.
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
Adicionalmente,
:<math>e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}</math>
== Funciones hiperbólicas inversas ==
{{AP|Funciones hiperbólicas inversas}}
Las funciones hiperbólicas inversas son las [[función inversa (análisis matemático)|funciones inversas]] de las funciones hiperbólicas. Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa correspondiente proporciona el [[ángulo hiperbólico]].
== Véase también ==
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