Diferencia entre revisiones de «Mecánica del sólido rígido»

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=== Espacio de configuración de un cuerpo rígido ===
La mecánica lagrangiana para describir un sistema mecánico con un grado finito de grados de libertad se define como una [[variedad diferenciable]] llamada '''espacio de configuración'''. El movimiento del sistema o evolución con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del [[espacio de configuración]]. Para un cuerpo rígido con un punto inmóvil (sólosolo existe rotación) el espacio de configuración viene dado por la [[variedad diferenciable]] del [[grupo de rotación]] [[Grupo especial ortogonal|SO(3)]]. Cuando el sólido tiene traslación y rotación de todos sus puntos el espacio de configuración es ''E''<sup>+</sup>(''n''), el subgrupo de [[isometría]] del [[grupo euclídeo]] (combinaciones de [[traslación (geometría)|traslaciones]] y [[Movimiento de rotación|rotaciones]].
 
== Tensor de inercia ==
Cuando se estudia el movimiento de un sólido rígido resulta conveniente descomponerlo en un movimiento de traslación más un movimiento de rotación:
 
# Para describir la '''traslación''' sólosolo necesitamos calcular las [[equivalencia estática|fuerzas resultantes]] y aplicar las [[leyes de Newton]] como si se tratara de puntos materiales.
# En cambio la descripción de la '''rotación''' es más compleja, ya que necesitamos alguna magnitud que de cuenta de cómo está distribuida la masa alrededor de cierto punto o eje de rotación (por ejemplo un eje que pase por el [[centro de masa]]). Esa magnitud es el [[tensor de inercia]], que caracteriza la [[momento de inercia|inercia rotacional]] del sólido.
 
\right) = \frac{1}{2}
\sum_{j} \sum_{k} I_{jk} \omega_{j} \omega_{k} </math>|4|left}}
No sólosolo la energía cinética se puede expresar sencillamente en términos del tensor de inercia, si reescribimos la expresión (3) para el momento angular introduciendo en ella la definición del tensor de inercia, tenemos que este tensor es la aplicación lineal que relaciona la velocidad angular y el momento angular:
{{Ecuación|
<math>\mathbf{L}_G = \mathbf{I}\boldsymbol\omega =
{{Ecuación|<math>\frac{L_1^2}{I_1}+\frac{L_2^2}{I_2}+\frac{L_3^2}{I_3} = 2E \;</math>|6a|left}}
{{Ecuación|<math>L_1^2 + L_2^2 + L_3^2 = L^2 \;</math>|6b|left}}
Como sólosolo existen tres coordenadas angulares y existen esas dos restricciones las componentes del momento angular sólosolo pueden variar a lo largo de una curva dada por la intersección del elipsoide {{Eqnref|6a}} y la esfera {{Eqnref|6b}}. Así mismo puede verse que el giro alrededor de los ejes de inercia asociado a los momentos <math>I_1, I_3</math> es estable mientras que el asociado a <math>I_2</math> es inestable, es decir, cualquier pequeña perturbación cambia drásticamente las trayectorias del movimiento. Para <math>L^2 > 2EI_2</math> las ecuaciones paramétricas de variación de las velocidades angulares vienen dadas por las [[función elíptica de Jacobi|funciones elípticas de Jacobi]]:<br />
<br />
:<math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2EI_3-L^2}{I_1(I_3-I_1)}} \mbox{cn} \tau</math>
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