Diferencia entre revisiones de «Ley de elasticidad de Hooke»

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[[File:Hookes-law-springs.png|thumb|250px|La ley de Hooke: La fuerza es proporcional a la extensión]]
En física, la '''ley de elasticidad de Hooke''' o '''ley de Hooke''', originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo (<math>F</math>):
{{ecuación|
<math> \epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AE} </math>
 
<math> \epsilon = \frac {\Delta L}{L} = \frac {F}{AE}A \ E}</math>
| |left}}
Siendo <math>\Delta L</math> el alargamiento, <math>L</math> la longitud original, <math>E</math>: [[módulo de Young]], <math>A</math> la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a un cuerpo elástico hasta un límite denominado [[límite de elasticidad|límite elástico]].
 
Siendo (<math>\Delta L</math>) el alargamiento, (<math>L</math>) la longitud original, (<math>E</math>): [[módulo de Young]], (<math>A</math>) la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a un cuerpo elástico hasta un límite denominado [[límite de elasticidad|límite elástico]].
Esta ley recibe su nombre del físico inglés [[Robert Hooke]], contemporáneo de [[Isaac Newton]], y contribuyente prolífico de la [[arquitectura]]. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en [[ingeniería]] y [[construcción]], así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso [[anagrama]], ''ceiiinosssttuv'', revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa ''Ut tensio sic vis'' ("[[proporcionalidad|como la extensión, así la fuerza]]").
 
Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en [[ingeniería]] y [[construcción]], así como en la ciencia de los materiales.
 
== Historia ==
Esta ley recibe su nombre del físico inglés [[Robert Hooke]], contemporáneo de [[Isaac Newton]], y contribuyente prolífico de la [[arquitectura]]. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en [[ingeniería]] y [[construcción]], así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso [[anagrama]], ''ceiiinosssttuv'', revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa ''Ut tensio sic vis'' ("[[proporcionalidad|como la extensión, así la fuerza]]").
 
== Ley de Hooke para los resortes ==
[[Archivo:Spring-mass2.svg|thumb|250px|La ley de Hooke describe cuánto se alarga un resorte bajo una cierta fuerza.]]
La forma más común de representar matemáticamente la ''Ley de Hooke'' es mediante la ecuación del muelle o [[resorte]], donde se relaciona la fuerza (<math>F</math>) ejercida por el resorte con la [[alargamiento|elongación]] o alargamiento (<math>\delta</math>) provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:
{{ecuación|
<math>F = - k \delta \, </math>
||left}}
donde <math>k</math> se llama [[rigidez|constante elástica]] del resorte y <math> \delta </math> es su elongación o variación que experimenta su longitud.
 
<math>F = - k \delta \, delta</math>
La energía de deformación o energía potencial elástica <math>U_k</math> asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
{{ecuación|
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2 </math>
||left}}
 
donde (<math>k</math>) se llama [[rigidez|constante elástica]] del resorte y (<math> \delta </math>) es su elongación o variación que experimenta su longitud.
Es importante notar que la <math>k</math> antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando <math>k</math> por la longitud total, y llamando al producto <math>k_i</math> o <math>k</math> intrínseca, se tiene:
 
La energía de deformación o energía potencial elástica (<math>U_k</math>) asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
{{ecuación|
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
||left}}
 
<math>U_k = \frac {1}{2} \ k \ {\delta}^2 </math>
Llamaremos <math>F(x)</math> a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, <math>k_{\Delta x}</math> a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud <math>\Delta x</math> a la misma distancia y <math>\delta_{\Delta x}</math> al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza <math>F(x)</math>. Por la ley del muelle completo:
 
Es importante notar que la (<math>k</math>) antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando (<math>k</math>) por la longitud total, y llamando al producto (<math>k_i</math>) o (<math>k</math>) intrínseca, se tiene:
{{ecuación|<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>||left}}
 
<math>k = \frac {k_i}{L}</math>
 
Llamaremos (<math>F(x)</math>) a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, (<math>k_{\Delta x}</math>) a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud (<math>\Delta x</math>) a la misma distancia y (<math>\delta_{\Delta x}</math>) al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza (<math>F(x)</math>). Por la ley del muelle completo:
 
<math>F(x) = -k_{\Delta x} \ \delta_{\Delta x}
{{ecuación|<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x} = -k_i \frac {\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>||left}}
 
Tomando el límite:
 
{{ecuación|
<math>F(x) = -k_i \frac {{\delta}_{dx}}{dx}</math>
 
||left}}
que por el principio de superposición resulta:
 
{{ecuación|
<math>F\left(x\right) = -k_i \frac {d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
= -(A \ E) \frac {d\delta}{dx}</math>
||left}}
 
Teniendo en cuenta esta Ley de Hooke del muelle y además, la masa del objeto que oscila, y su aceleración, se obtiene como solución el movimiento del [[oscilador armónico]] simple (Véase también: [[Muelle elástico]] / [[Resorte]]). La frecuencia angular de la oscilación se calcula como:
{{ecuación|
<math>{\omega}=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> siendo m la masa del oscilador
||left}}
 
<math>{\omega} = \sqrt {\frac {k}{m}}</math> siendo m la masa del oscilador
En los medios elásticos también se pueden propagar ondas como consecuencia de la vibración del medio. En la [[ecuación_de_onda |ecuación de ondas]] de las [[onda elástica | ondas elásticas]] interviene además de la variable espacial <math>x</math> (en el caso de una dimensión), el tiempo. Esto es debido a que una onda tiene la doble dependencia espacial y temporal a la vez (Véase también: [[Muelle elástico]] / [[Resorte]]).
 
siendo (<math>m</math>) la masa del oscilador
 
En los medios elásticos también se pueden propagar ondas como consecuencia de la vibración del medio. En la [[ecuación_de_onda |ecuación de ondas]] de las [[onda elástica | ondas elásticas]] interviene además de la variable espacial (<math>x</math>) (en el caso de una dimensión), el tiempo. Esto es debido a que una onda tiene la doble dependencia espacial y temporal a la vez (Véase también: [[Muelle elástico]] / [[Resorte]]).
 
== Ley de Hooke en sólidos elásticos ==
 
La ley de Hooke para sólidos elásticos generaliza la ley de Hooke para resortes. En la [[mecánica de sólidos deformables]] [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|elásticos]] la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada solo según su eje. La [[deformación]] en el caso más general necesita ser descrita mediante un [[tensor de deformaciones]] mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un [[tensor tensión|tensor de tensiones]]. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por '''ecuaciones de Hooke generalizadas''' o '''ecuaciones de Lamé-Hooke''', que son las [[ecuación constitutiva|ecuaciones constitutivas]] que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la [[Constante elástica|forma general]]:
{{Ecuación|
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
| |left}}
 
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k, l} C_{ijkl} \ \varepsilon_{kl} \,</math>
Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran solo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
 
Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran solo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
 
De tal forma que la deformación (<math>\epsilon</math>) es una cantidad adimensional, el módulo (<math>E</math>) se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (<math>\sigma</math>) (unidades paPa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo (<math>\sigma</math>) para el que la similitud entre (<math>\sigma</math>) y (<math>\epsilon</math>) deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo.
 
De tal forma que la deformación <math>\epsilon</math> es una cantidad adimensional, el módulo <math>E</math> se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo <math>\sigma</math> (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo <math>\sigma</math> para el que la similitud entre <math>\sigma</math> y <math>\epsilon</math> deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo.
En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.
 
=== Caso unidimensional ===
 
En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar (<math>\sigma = \sigma_{11}</math>), (<math>\epsilon = \epsilon_{11}</math>), (<math>C_{11} = E</math>) y la ecuación anterior se reduce a:
 
{{Ecuación|
<math> \sigma = E \epsilon \,epsilon</math>
 
| |left}}
donde (<math>E</math>) es el [[módulo de Young]].
 
=== Caso tridimensional isótropo ===
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