Diferencia entre revisiones de «Matriz diagonal»

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{{Referencias|t=20210405174930}}
En [[álgebra lineal]], una '''[[matriz (matemática)|matriz]] diagonal''' es una [[matrizMatriz cuadrada(matemáticas)|matriz]] encuyos queelementos las entradasfuera de lasla diagonales[[diagonal deprincipal]] lason matriztodos soncero; todasel nulastérmino salvousualmente enhace lareferencia a [[diagonalMatriz principalcuadrada|matrices cuadradas]],. yUn éstasejemplo puedende seruna nulasmatriz odiagonal no.de Así, la matriztamaño <math>D=(d_{i,j})2\times2</math> es diagonal si:
 
:<math>\begin{bmatrix}
:<math>d_{i,j}=0\;\mbox{si}\;i\neq j\quad\forall\;i,j\in\{1,2,\dots,n\} </math>
1 3 & 0 \\
0 & 2
0 & 4 \end{bmatrix}</math>
mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño <math>3\times3</math> es
:<math>\begin{bmatrix}
6 & 0 & 0 \\
0 & 7 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}</math>
La [[matriz identidad]] de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una [[matriz escalar]]) es una matriz diagonal.
 
== Definición ==
Ejemplo:
La matriz <math>D=(d_{i,j})</math> con <math>n</math> columnas y <math>n</math> renglones es diagonal si
 
:<math>d_{i,j}=0\;\mbox{si}\;i\neq j\quad\forall\;i,j\in\{1,2,\dots,n\} </math>
:<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 4 \end{bmatrix}</math>
 
Los elementos de la diagonal principal de la matriz <math>D</math> pueden tomar cualquier valor.
Toda matriz diagonal es también una [[matriz simétrica]], [[matriz triangular|triangular]] (superior e inferior) y (si las entradas provienen del [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] '''R''' o '''C''') [[matriz normal|normal]].
 
Toda matriz diagonal es también una [[matriz simétrica]], [[matriz triangular|triangular]] (superior e inferior) y (si las entradas provienen del [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] '''R''' o '''C''') [[matriz normal|normal]].
Otro ejemplo de matriz diagonal es la [[matriz identidad]].
 
== Operaciones matriciales ==
 
== Propiedades ==
* LosEl [[autovalorDeterminante (matemática)|determinante]]es de <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> sones igual al producto ''a''<submath>1a_1\cdots a_n</sub>,...,''a''<sub>''n''</submath>.
*La [[Matriz adjunta|adjunta]] de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
*La [[matriz identidad]] <math>I_n</math> y la [[matriz cero]] son matrices diagonales.
*Los El determinante[[autovalor]]es de <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> es igual al productoson ''a''<mathsub>a_1\cdots a_n1</mathsub>,...,''a''<sub>''n''</sub>.
* Los vectores <math>\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n</math> forman una [[base (álgebra lineal)|base]] de autovectores.
* El determinante de <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> es igual al producto <math>a_1\cdots a_n</math>.
 
== Usos ==
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