Diferencia entre revisiones de «Matriz diagonal»

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Operaciones vectoriales y matriciales
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(Operaciones vectoriales y matriciales)
 
Toda matriz diagonal es también una [[matriz simétrica]], [[matriz triangular|triangular]] (superior e inferior) y (si las entradas provienen del [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] '''R''' o '''C''') [[matriz normal|normal]].
 
== Operaciones vectoriales ==
Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal <math>D=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> y un vector <math>\mathbf{v}=
\begin{bmatrix}
x_1 & \cdots & x_n
\end{bmatrix}^T</math> el producto es:
:<math>D\mathbf{v}
=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_1 \\
& \ddots \\
& & a_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_1x_1 \\
\vdots \\
a_nx_n
\end{bmatrix}</math>
 
== Operaciones matriciales ==
Las operaciones de suma y [[productomultiplicación deentre matrices]] diagonales son especialmentemuy sencillas. Considere parados matrices diagonales. Vamosdel amismo emplear aquí la notación detamaño <math>D=\operatorname{diag}(''a''<sub>1</sub>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n)</submath>) para una matriz diagonal que tiene las entradasy ''a''<sub>1</submath>B=\operatorname{diag}(b_1,...\dots,''a''<sub>''n''b_n)</submath> en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:
 
Para la [[suma de matrices]] diagonales se tiene
:diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) + diag(''b''<sub>1</sub>,...,''b''<sub>''n''</sub>) = diag(''a''<sub>1</sub>+''b''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>+''b''<sub>''n''</sub>)
:<math>\begin{align}
D+B
&=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)+\operatorname{diag}(b_1,\dots,b_n) \\
&=
\begin{bmatrix}
a_1 \\
& \ddots \\
& & a_n
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
b_1 \\
& \ddots \\
& & b_n
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
a_1+b_1 \\
& \ddots \\
& & b_n+b_n
\end{bmatrix} \\
&=\operatorname{diag}(a_1+b_1,\dots,a_n+b_n)
\end{align}</math>
 
y para el [[producto de matrices]],
 
:<math>\begin{align}
:diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) · diag(''b''<sub>1</sub>,...,''b''<sub>''n''</sub>) = diag(''a''<sub>1</sub>''b''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>''b''<sub>''n''</sub>).
DB
&=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)\cdot\operatorname{diag}(b_1,\dots,b_n) \\
&=
\begin{bmatrix}
a_1 \\
& \ddots \\
& & a_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1 \\
& \ddots \\
& & b_n
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
a_1b_1 \\
& \ddots \\
& & b_nb_n
\end{bmatrix} \\
&=\operatorname{diag}(a_1b_1,\dots,a_nb_n)
\end{align}</math>
 
La matriz diagonal <math>D=\operatorname{diag}(''a''<sub>1</sub>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n)</submath>) es [[matriz invertible|invertible]] si y sólo si las entradas ''a''<sub>1</submath>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n</submath> son todas distintas de 0. En este caso, se tiene
 
:<math>D^{-1}=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)^{-1}=\operatorname{diag}(a_1^{-1},\dots,a_n^{-1})</math>
:diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>)<sup>-1</sup> = diag(''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>,...,''a''<sub>''n''</sub><sup>-1</sup>).
 
En particular, las matrices diagonales forman un [[subanillo]] del anillo de las matrices de ''<math>n''×''\times n''</math>.
 
Multiplicar la matriz ''<math>A''</math> por la ''izquierda'' con <math>\operatorname{diag}(''a''<sub>1</sub>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n)</submath>) equivale a multiplicar la fila ''<math>i''</math>-ésima fila de ''<math>A''</math> por ''a''<submath>''i''a_i</submath> para todo ''<math>i''</math>. Multiplicar la matriz ''<math>A''</math> por la ''derecha'' con <math>\operatorname{diag}(''a''<sub>1</sub>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n)</submath>) equivale a multiplicar la columna ''<math>i''</math>-ésima columna de ''<math>A''</math> por ''a''<submath>''i''a_i</submath> para todo ''<math>i''</math>.
 
== Propiedades ==
*La [[Matriz adjunta|adjunta]] de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
*La [[matriz identidad]] <math>I_n</math> y la [[matriz cero]] son matrices diagonales.
*Los [[autovalor]]es de <math>\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)</math> son ''a''<sub>1</submath>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n</submath>.
* Los vectores <math>\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n</math> forman una [[base (álgebra lineal)|base]] de autovectores.
 
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