Diferencia entre revisiones de «Función sobreyectiva»

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En [[matemáticas]], una [[función matemática|función]]:
: <math>
\begin{array}{rcclalign}
f : & X & \longrightarrow & Y \\
& x & \longmapsto & y = f(x)
\end{arrayalign}
</math>
 
es '''sobreyectiva''',<ref name="c">{{cita libro|título=Diccionario esencial de las ciencias|editor=Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales|isbn=84-239-7921-0|año=1999|editorial=Espsa}}</ref> '''epiyectiva''', '''suprayectiva''',<ref name="c"/> '''suryectiva''', '''exhaustiva,'''<ref name="c"/> '''onto''' o '''subyectiva''' si está aplicada sobre todo el [[codominio]], es decir, cuando cada elemento de <math>\scriptstyle Y</math> es la [[Conjunto imagen |imagen]] de como mínimo un elemento de <math>\scriptstyle X</math>.
 
Formalmente,
 
: Para todo '''y''' de '''Y''' existe '''x''' de '''X''', que cumple que la función: '''f''' de '''x''' es igual a '''y'''.
 
== Definición ==
Una '''función sobreyectiva''' es una función cuya imagen es igual a su [[codominio]]. Equivalentemente, una función <math>f</math> con dominio <math>X</math> y codominio <math>Y</math> es sobreyectiva si para cada <math>y</math> en <math>Y</math> existe al menos una <math>x</math> en <math>X</math> tal que <math>f(x)=y</math>.
 
Simbólicamente
 
:<math>f:X\to Y</math> entonces se dice que <math>f</math> es sobreyectiva si
 
:<math>\forall\;y\in Y, \exists\;x\in X:f(x)=y</math>
 
=== Notación ===
En ocasiones para denotar que una función <math>f:X\to Y</math> es sobreyectiva se utiliza la notación:
:<math> f:X\twoheadrightarrow Y</math>
 
== Cardinalidad y sobreyectividad ==
Dados dos conjuntos <math>\scriptstyle A</math> y <math>\scriptstyle B</math>, entre los cuales existe una función sobreyectiva <math>f:A \to B</math>, se tiene que los cardinales cumplen:
{{ecuación|
<math>\mbox{card}(A) \ge \mbox{card}(B)</math>
||left}}
Si además existe otra aplicación sobreyectiva <math>g:B \to A</math>, entonces puede probarse que existe una aplicación [[función biyectiva|biyectiva]] entre <math>A</math> y <math>B</math>, por el [[teorema de Cantor-Bernstein-Schröder]].
 
==Notación==
En ocasiones se denota una función suprayectiva como :
:<math> f:X\twoheadrightarrow Y</math>
 
== Véase también ==
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