Diferencia entre revisiones de «Principio de acción»

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== El principio de acción en la mecánica clásica ==
Las [[leyes de Newton]] del movimiento se puede establecer de varias maneras alternativas. Una de ellas es el formalismo lagrangiano, también llamada [[mecánica lagrangiana]]. Que lo enunciaremos en coordenadas generalizadas, para asi poder usar cartesinas, polares o esfericas, segun requiera el sistema a tratar. Si denotamos la trayectoria de una partícula en función del tiempo ''t'' como ''xq(t)'', con una velocidad <math>\dot{xq}(t)</math>, entonces el [[lagrangiano]] es una función dependiente de estas cantidades y posiblemente también explícitamente del tiempo:
 
:<math>L(xq(t),\dot{xq}(t),t)</math>
 
la '''integral de acción''' ''S'' es la [[integral]] temporal del [[lagrangiano]] entre un punto de partida dado <math>xq(t_1)</math> en el tiempo <math>t_1</math> y un punto final dado <math>xq(t_2)</math> en el tiempo <math>t_2</math>
: <math> S=\int_{t_1}^{t_2} L(x(t),\dot{xq}(t),t) dt </math>
 
En mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es derivada encontrando la trayectoria para la cual la integral de acción ''S'' es estacionaria (un mínimo o un punto de ensilladura). La integral de acción es una funcional (una función dependiendo de una función, en este caso <math>xq(t)</math>).
 
Para un sistema con fuerzas conservativas (fuerzas que se pueden describir en términos de un potencial, como la fuerza gravitacional y no como las fuerzas de fricción), la elección de un lagrangiano como la [[energía cinética]] menos la [[energía potencial]] da lugar a las leyes correctas de la mecánica de Newton (notar que la ''suma'' de la energía cinética y la potencial es la energía total del sistema).
 
== Las ecuaciones de Euler-Lagrange para la integral de acción en una dimensión==
El punto estacionario de una integral a lo largo de una trayectoria es equivalente a un sistema de ecuaciones diferenciales, llamado las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]]. Esto puede ser visto como sigue donde nos restringimos a un coordenada solamente. La extensión a más coordenadas es sencillo.
 
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