Diferencia entre revisiones de «Álgebra conmutativa»
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El estudio general de anillos sin requerir conmutatividad se conoce como [[álgebra no conmutativa]]; es materia de la [[teoría de anillos]], de la [[teoría de la representación]] y también de otras áreas como la teoría de las [[álgebras de Banach]].
==Introducción==
El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los [[anillo]]s que ocurren en la teoría algebraica de números y la [[geometría algebraica]].
En la teoría algebraica de números, los anillos de números enteros algebraicos son [[anillos de Dedekind]], que constituyen, por tanto, una clase importante de anillos conmutativos. Las consideraciones relacionadas con la [[aritmética modular]] han llevado a la noción de un anillo de valoración. La restricción de extensiones de [[campo algebraico]] a subanillos ha llevado a las nociones de extensiones integrales y dominios integralmente cerrados, así como a la noción de ramificación de una extensión de anillos de valoración.
La noción de localización de un anillo (en particular la localización con respecto a un ideal primo, la localización que consiste en invertir un solo elemento y el anillo del cociente total ) es una de las principales diferencias entre el álgebra conmutativa y la teoría de los anillos no conmutativos. Conduce a una clase importante de anillos conmutativos, los anillos locales que tienen un solo ideal máximo. El conjunto de los ideales principales de un anillo conmutativo está naturalmente equipado con una [[topología]], la [[topología de Zariski]]. Todas estas nociones son muy utilizadas en geometría algebraica y son las herramientas técnicas básicas para la definición de la [[teoría de esquemas]], una generalización de la geometría algebraica introducida por [[Grothendieck]].
Muchas otras nociones de álgebra conmutativa son contrapartidas de las nociones geométricas que ocurren en la geometría algebraica. Este es el caso de la [[dimensión de Krull]], descomposición primaria, anillos regulares, anillos de Cohen-Macaulay, anillos Gorenstein y muchas otras nociones.
==Referencias==
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