Diferencia entre revisiones de «Permutación»

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Línea 131:
Una '''trasposición''' es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un [[ciclo (permutación)|ciclo]] de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una ''composición'' de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la '''signatura''' de una permutación.
 
Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).
 
Nótese la diferencia entre permutación, ciclo y transposición, dado lo similar de la notación, la expresión anterior es equivalente a:
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 4
\end{pmatrix}
\circ
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\circ
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\circ
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}
</math>
 
La ''composición'' señalada como: <math> \circ </math> se opera de derecha a izquierda y no es conmutativa.
 
Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).
 
Para ver que cualquier permutación se descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. La descomposición no es única. Por ejemplo: