Diferencia entre revisiones de «Permutación»
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Línea 192:
Llamaremos '''permutación par''' (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.
Como ejemplo,
==== Permutación 1 ====
La permutación
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
</math>
Escritas en notación de ciclos:
: <math>
(1)(2)(3) \equiv id
</math>
Las transposiciones:
La identidad no tiene trasposiciones. El número de trasposicienes de id es 0(cero).
==== Permutación 2 ====
La permutación
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
</math>
Escritas en notación de ciclos:
: <math>
(1)(23) \equiv (23)
</math>
Las transposiciones:
: <math>
(23)\,
</math>
El número de trasposicienes es :1.
==== Permutación 3 ====
La permutación
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
</math>
Escritas en notación de ciclos:
: <math>
(12)(3) \equiv (12)
</math>
Las transposiciones:
: <math>
(12)\,
</math>
El número de trasposicienes es :1.
==== Permutación 4 ====
La permutación
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
</math>
Escritas en notación de ciclos:
: <math>
(123)\,
</math>
Las transposiciones:
: <math>
(12)(23)\,
</math>
El número de trasposicienes es :2.
==== Permutación 5 ====
La permutación
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
</math>
Escritas en notación de ciclos:
: <math>
(132)\,
</math>
Las transposiciones:
: <math>
(13)(32)\,
</math>
El número de trasposicienes es :2.
==== Permutación 6 ====
La permutación
: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
</math>
Escritas en notación de ciclos:
: <math>
(132)\,
</math>
Las transposiciones:
La trasposiciones es:
: <math>
(13)(32)\,
</math>
El número de trasposicienes es :2.
==== Conclusión ====
En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Esto surge como consecuencia directa de la existencia del morfismo <math>\varepsilon:S_n \to (\{-1,1\},\cdot)</math> que tiene como núcleo justamente a las permutaciones pares.
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