Wikipedia

Diferencia entre revisiones de «Modelo de Kuramoto»

Explorar historial interactivamente
← Ir a diferencia anteriorIr a siguiente diferencia →
Contenido eliminado Contenido añadido
VisualWikitexto
Initial autotrad, now will work on making it cuter
Text fixed
Línea 1:
 
{{En desarrollo|t=20211120233947}}[[File:Wesphysdemo - Synchronized Metronomes.webm|thumb|upright=1.1|[[Metrónomo|Metrónomos]], inicialmente desfasados, se sincronizan a través de pequeños movimientos de la base sobre la que están colocados. Se ha demostrado que este sistema es equivalente al modelo Kuramoto.<ref>{{cite journal|url=http://www.math.pitt.edu/~bard/classes/mth3380/syncpapers/metronome.pdf|title=Sincronización de metrónomos|last1=Pantaleone|first1=James|date=Octubre 2002|journal=American Journal of Physics|volume=70|issue=10|pages=992-1000|bibcode=2002AmJPh..70..992P|doi=10. 1119/1.1501118}}</ref>]]El '''modelo de Kuramoto''' (o '''modelo de Kuramoto-Daido''') es un [[modelo matemático]] utilizado para describir la [[sincronización]] propuesto por {{nihongo|[[Yoshiki Kuramoto]]|蔵本 由紀|}} en 1984;<ref>{{cita libro|last=Kuramoto|first=Yoshiki|title=Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics|volumen=39|editor=H. Araki|página=420|año=1975}}</ref><ref>{{cita libro|author=Kuramoto Y|title=Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence|publisher=New York, NY: Springer-Verlag|año=1984}}</ref> para describ
{{En desarrollo|t=20211120233947}}
 
El '''modelo de Kuramoto''' (o '''modelo de Kuramoto-Daido''') es un [[modelo matemático]] utilizado para describir la [[sincronización]] propuesto por {{nihongo|[[Yoshiki Kuramoto]]|蔵本 由紀|}} en 1984;<ref>{{cita libro|last=Kuramoto|first=Yoshiki|title=Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics|volumen=39|editor=H. Araki|página=420|año=1975}}</ref><ref>{{cita libro|author=Kuramoto Y|title=Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence|publisher=New York, NY: Springer-Verlag|año=1984}}</ref> para describirir el comportamiento de un gran conjunto de [[osciladores]] acoplados.<ref>{{cite journal | autor = Strogatz S | título = De Kuramoto a Crawford: Explorando el inicio de la sincronización en poblaciones de osciladores acoplados | journal = Physica D | volume = 143 | issue = 1-4| pages = 1-20 | year = 2000 | bibcode = 2000PhyD..143.... 1S | doi = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4| url = http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf }}</ref><ref>{cite journal | last1 = Acebrón | first1 = Juan A. | last2 = Bonilla | first2 = L. L. | last3 = Vicente | first3 = Pérez | last4 = Conrad | first4 = J. | last5 = Ritort | first5 = Félix | last6 = Spigler | first6 = Renato | journal = Reviews of Modern Physics | pages = 137-185 | title = El modelo Kuramoto: Un paradigma simple para los fenómenos de sincronización | url = http://scala.uc3m.es/publications_MANS/PDF/finalKura.pdf<nowiki> | volumen = 77 | número = 1 | año = 2005|bibcode = 2005RvMP...77..137A |doi = 10.1103/RevModPhys.77 .137 | hdl = 2445/12768 | hdl-access = free }}</nowiki></ref> Su formulación fue motivada por el comportamiento de sistemas de osciladores [[químicos]] y biológicos, y ha encontrado amplias aplicaciones en áreas como la neurociencia.<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Bick | first1 = Christian | last2 = Goodfellow | first2 = Marc | last3 = Laing | first3 = Carlo R. | last4 = Martens | first4 = Erik A. | journal = Journal of Mathematical Neuroscience | pages = 9 | title = Understanding the dynamics of biological and neural oscillator networks through exact mean-field reductions: a review | volume = 10 | issue = 1 | year = 2020 | doi = 10.1186/s13408-020-00086-9 | pmid = 32462281 | pmc = 7253574 | doi-access = free }}/ref>{cite journal | last1 = Cumin | first1 = D. | last2 = Unsworth | first2 = C. P. | doi = 10.1016/j.physd.2006.12.004 | issue = 2 | journal = Physica D | pages = 181-196 | title = Generalización del modelo de Kuromoto para el estudio de la sincronización neuronal en el cerebro | volume = 226 | year = 2007 | bibcode = 2007PhyD..226..181C }}</nowiki></ref><ref><nowiki>{cite journal | doi = 10.3389/fnhum.2010 .00190 |pmid=21151358 |pmc=2995481 |vauthors=Breakspear M, Heitmann S, Daffertshofer A | title = Modelos generativos de oscilaciones corticales: Implicaciones neurobiológicas del modelo Kuramoto | journal = Front Hum Neurosci | volume = 4 | issue = 190 | year = 2010 |page=190 }}</nowiki></ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1016/j.neuroimage.2013 .11. 047 |vauthors=Cabral J, Luckhoo H, Woolrich M, Joensson M, Mohseni H, Baker A, Kringelbach ML, Deco G | title = Explorando los mecanismos de la conectividad funcional espontánea en MEG: Cómo las interacciones de red retardadas conducen a las envolventes de amplitud estructurada de las oscilaciones filtradas por paso de banda | journal = NeuroImage | volume = 90 | pages = 423-435 | year = 2014 | pmid=24321555| doi-access = free }}</ref> Kuramoto se sorprendió bastante cuando vio que el comportamiento de algunos sistemas físicos, concretamente las matrices acopladas de uniones de Josephson, seguían su modelo.<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>▼
[[File:KuramotoModelPhaseLocking.ogv|thumb|right|Bloqueo de fases en el modelo de Kuramoto|upright=1.1]]
 
▲El '''modelo de Kuramoto''' (o '''modelo de Kuramoto-Daido''') es un [[modelo matemático]] utilizado para describir la [[sincronización]] propuesto por {{nihongo|[[Yoshiki Kuramoto]]|蔵本 由紀|}} en 1984;<ref>{{cita libro|last=Kuramoto|first=Yoshiki|title=Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics|volumen=39|editor=H. Araki|página=420|año=1975}}</ref><ref>{{cita libro|author=Kuramoto Y|title=Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence|publisher=New York, NY: Springer-Verlag|año=1984}}</ref> para describir el comportamiento de un gran conjunto de [[osciladores]] acoplados.<ref>{{cite journal | autor = Strogatz S | título = De Kuramoto a Crawford: Explorando el inicio de la sincronización en poblaciones de osciladores acoplados | journal = Physica D | volume = 143 | issue = 1-4| pages = 1-20 | year = 2000 | bibcode = 2000PhyD..143.... 1S | doi = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4| url = http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf }}</ref><ref>{cite journal | last1 = Acebrón | first1 = Juan A. | last2 = Bonilla | first2 = L. L. | last3 = Vicente | first3 = Pérez | last4 = Conrad | first4 = J. | last5 = Ritort | first5 = Félix | last6 = Spigler | first6 = Renato | journal = Reviews of Modern Physics | pages = 137-185 | title = El modelo Kuramoto: Un paradigma simple para los fenómenos de sincronización | url = http://scala.uc3m.es/publications_MANS/PDF/finalKura.pdf<nowiki> | volumen = 77 | número = 1 | año = 2005|bibcode = 2005RvMP...77..137A |doi = 10.1103/RevModPhys.77 .137 | hdl = 2445/12768 | hdl-access = free }}</nowiki></ref> Su formulación fue motivada por el comportamiento de sistemas de osciladores [[químicos]] y biológicos, y ha encontrado amplias aplicaciones en áreas como la neurociencia.<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Bick | first1 = Christian | last2 = Goodfellow | first2 = Marc | last3 = Laing | first3 = Carlo R. | last4 = Martens | first4 = Erik A. | journal = Journal of Mathematical Neuroscience | pages = 9 | title = Understanding the dynamics of biological and neural oscillator networks through exact mean-field reductions: a review | volume = 10 | issue = 1 | year = 2020 | doi = 10.1186/s13408-020-00086-9 | pmid = 32462281 | pmc = 7253574 | doi-access = free }}/ref>{cite journal | last1 = Cumin | first1 = D. | last2 = Unsworth | first2 = C. P. | doi = 10.1016/j.physd.2006.12.004 | issue = 2 | journal = Physica D | pages = 181-196 | title = Generalización del modelo de Kuromoto para el estudio de la sincronización neuronal en el cerebro | volume = 226 | year = 2007 | bibcode = 2007PhyD..226..181C }}</nowiki></ref><ref><nowiki>{cite journal | doi = 10.3389/fnhum.2010 .00190 |pmid=21151358 |pmc=2995481 |vauthors=Breakspear M, Heitmann S, Daffertshofer A | title = Modelos generativos de oscilaciones corticales: Implicaciones neurobiológicas del modelo Kuramoto | journal = Front Hum Neurosci | volume = 4 | issue = 190 | year = 2010 |page=190 }}</nowiki></ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1016/j.neuroimage.2013 .11. 047 |vauthors=Cabral J, Luckhoo H, Woolrich M, Joensson M, Mohseni H, Baker A, Kringelbach ML, Deco G | title = Explorando los mecanismos de la conectividad funcional espontánea en MEG: Cómo las interacciones de red retardadas conducen a las envolventes de amplitud estructurada de las oscilaciones filtradas por paso de banda | journal = NeuroImage | volume = 90 | pages = 423-435 | year = 2014 | pmid=24321555| doi-access = free }}</ref> Kuramoto se sorprendió bastante cuando vio que el comportamiento de algunos sistemas físicos, concretamente las matrices acopladas de uniones de Josephson, seguían su modelo.<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>
 
El modelo hace varias suposiciones, incluyendo que hay un acoplamiento débil, que los osciladores son idénticos o casi idénticos, y que las interacciones dependen sinusoidalmente de la diferencia de fase entre cada par de objetos.
Línea 11 ⟶ 9:
 
=== Definición inicial ===
[[File:KuramotoModelPhaseLocking.ogv|thumb|right|Bloqueo de fases en el modelo de Kuramoto|upright=1.1]]En la versión más conocida del modelo de Kuramoto, se considera que cada uno de los osciladores tiene su propia [[frecuencia natural]] intrínseca <math>\omega_i</math>, y cada uno está acoplado por igual a todos los demás osciladores. Sorprendentemente, este modelo totalmente no lineal puede resolverse exactamente cuando el número de osciladores N tiende a infinito, ''N''→ ∞;<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Bick | first1 = Christian | last2 = Goodfellow | first2 = Marc | last3 = Laing | first3 = Carlo R. | last4 = Martens | first4 = Erik A. | journal = Journal of Mathematical Neuroscience | pages = 9 | title = Comprender la dinámica de las redes de osciladores biológicos y neuronales a través de reducciones exactas de campo medio: una revisión | volume = 10 | issue = 1 | year = 2020 | doi = 10. 1186/s13408-020-00086-9 | pmid = 32462281 | pmc = 7253574 | doi-access = free }}</nowiki></ref> alternativamente, utilizando argumentos de autoconsistencia se pueden obtener soluciones de estado estacionario de r, el parámetro que describe el grado de sincronización del sistema.<ref>{cite journal | author = Strogatz S | title = From Kuramoto to Crawford: Explorando el inicio de la sincronización en poblaciones de osciladores acoplados | journal = Physica D | volume = 143 | issue = 1-4| pages = 1-20 | year = 2000 | bibcode = 2000PhyD..143....1S| doi = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4| url = http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf<nowiki> }}</nowiki></ref>
 
La forma más popular del modelo tiene las siguientes ecuaciones de gobierno:
Línea 58 ⟶ 56:
 
== Variaciones del modelo ==
[[File:Spatial synchronization patterns in variants of the Kuramoto Model.png|thumb|upright=1.1|right|Patrones de sincronización distintos en un conjunto bidimensional de osciladores tipo Kuramoto con diferentes funciones de interacción de fase y topologías de acoplamiento espacial. (A) Molinetes. (B) Ondas. (C) Quimeras. (D) Quimeras y ondas combinadas. La escala de colores indica la fase del oscilador]]Hay varios tipos de variaciones que pueden aplicarse al modelo original presentado anteriormente. Algunos modelos cambian la estructura topológica, otros permiten pesos heterogéneos y otros cambios están más relacionados con modelos que se inspiran en el modelo Kuramoto pero que no tienen la misma forma funcional.
{{Columnas}}
 
(A) Molinetes
=== Variaciones de la topología de la red ===▼
(C) Quimeras
Además del modelo original, que tiene una topología de todo a todo, una topología suficientemente densa del tipo [[red compleja]] es susceptible del tratamiento de campo medio utilizado en la solución del modelo original<ref>{{cite journal|title=El modelo Kuramoto en redes complejas|last1=Rodrigues|first1=F. A.|last2=Peron|first2=T.K.|journal=Physics Reports|volume=610|issue=1|pages=1-98|bibcode=2016PhR...610....1R|doi=10.1016/j.physrep.2015 .10.008|last3=Jie|first3=P.|last4=Kurths|first4=J.|año=2016|arxiv=1511.07139|s2cid=119290926}}</ref> (ver [[Modelo de Kuramoto#Transformación|Transformación]] y [[Modelo de Kuramoto#Límite de N grande|Límite de ''N'']] arriba para más información). Las topologías de red, como los anillos y las poblaciones acopladas, admiten estados quimera.<ref>{{cite journal|title=Chimera states for coupled oscillators|last1=Abrams|first1=D.M.|last2=Strogatz|first2=S.H.|journal=Physical Review Letters|volume=93|issue=17|pages=174102|bibcode=2004PhRvL..93q4102A|doi=10.1103/physrevlett.93 .174102|pmid=15525081|year=2004|arxiv=nlin/0407045|s2cid=8615112}}</ref> También se puede preguntar por el comportamiento de modelos en los que hay intrínsecamente locales, como las topologías unidimensionales de las que la cadena y el anillo son ejemplos prototípicos. En tales topologías, en las que el acoplamiento no es escalable según 1/''N'', no es posible aplicar la aproximación canónica de campo medio, por lo que hay que recurrir al análisis caso por caso, haciendo uso de las simetrías siempre que sea posible, lo que puede dar base para la abstracción de los principios generales de las soluciones.
{{Nueva columna}}
(B) Ondas
(D) Quimeras y ondas
{{Final columnas}}
La escala de colores indica la fase del oscilador]]
▲=== VariacionesInfluencia de la topología de la red ===
Además del modelo original, que considera que todos los osciladores interaccionan igualmente entre ellos independientemente de su distancia, se han desarollado variaciones que tienen en cuenta [[Topología|topologías]] de [[red compleja]] que admiten estados quimera y comportamientos locales diferenciados.<ref>{{cite journal|title=Chimera states for coupled oscillators|last1=Abrams|first1=D.M.|last2=Strogatz|first2=S.H.|journal=Physical Review Letters|volume=93|issue=17|pages=174102|bibcode=2004PhRvL..93q4102A|doi=10.1103/physrevlett.93 .174102|pmid=15525081|year=2004|arxiv=nlin/0407045|s2cid=8615112}}</ref>
 
En redes bidimensionales de Kuramoto con acoplamiento local difusivo, es habitual encontrar sincronía uniforme, ondas y espirales cuya estabilidad puede determinarse analíticamente utilizando los métodos del análisis de estabilidad de Turing.<ref>{{cite journal|title=Pattern formation in an array of oscillators with electrical and chemical coupling|last1=Kazanci|first1=F.|last2=Ermentrout|first2=B.|journal=SIAM J Appl Math|volume=67|issue=2|pages=512-529|doi=10.1137/060661041|year=2006|citeseerx=10.1.1.140.1020}}</ref>
La sincronía uniforme, las ondas y las espirales pueden observarse fácilmente en las redes bidimensionales de Kuramoto con acoplamiento local difusivo. La estabilidad de las ondas en estos modelos puede determinarse analíticamente utilizando los métodos del análisis de estabilidad de Turing.<ref>{{cite journal|title=Pattern formation in an array of oscillators with electrical and chemical coupling|last1=Kazanci|first1=F.|last2=Ermentrout|first2=B.|journal=SIAM J Appl Math|volume=67|issue=2|pages=512-529|doi=10.1137/060661041|year=2006|citeseerx=10.1.1.140.1020}}</ref> La sincronía uniforme tiende a ser estable cuando el acoplamiento local es positivo en todas partes, mientras que las ondas surgen cuando las conexiones de largo alcance son negativas (acoplamiento envolvente inhibitorio). Las ondas y la sincronía están conectadas por una rama de soluciones topológicamente distinta conocida como ripple.<ref>{{cite journal|title=Un papel computacional para la biestabilidad y las ondas viajeras en la corteza motora|last1=Heitmann|first1=S.|last2=Gong|first2=P.|journal=Front Comput Neurosci|volume=6|issue=67|pages=67|doi=10.3389/fncom.2012 .00067|pmc=3438483|pmid=22973223|last3=Breakspear|first3=M|año=2012}}</ref> Se trata de desviaciones espacialmente periódicas de baja amplitud que emergen del estado uniforme (o del estado de onda) a través de una [[bifurcación de Hopf]].<ref>{{cite journal|title=Sincronía, ondas y ondulación en osciladores Kuramoto acoplados espacialmente con conectividad de sombrero mexicano|last1=Heitmann|first1=S.|last2=Ermentrout|first2=B.|journal=Biological Cybernetics|volumen=109|número=3|pages=1-15|doi=10. 1007/s00422-015-0646-6|pmid=25677527|año=2015|s2cid=18561153}}</ref> La existencia de soluciones de ondulación fue predicha (pero no observada) por Wiley, Strogatz y [[Michelle Girvan|Girvan]],<ref>{cite journal | last1 = Wiley | first1 = D. | last2 = Strogatz | first2 = S. | last3 = Girvan | first3 = M|author3-link= Michelle Girvan | title = El tamaño de la cuenca de sincronización | volume = 16 | issue = 1 | journal = Chaos | pages = 015103 | doi = 10.1063/1. 2165594 | pmid = 16599769 | año = 2006|bibcode = 2006Chaos..16a5103W | s2cid = 21173189 | url = https://semanticscholar.org/paper/7f64ad32d24cc6c38a68d891aabbd3d86441b515<nowiki> }}</nowiki></ref> que los llamó estados q multitrenzados.
 
La topología sobre la que se estudia el modelo Kuramoto puede hacerse adaptativa<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Eom | first1 = Y.-H. | last2 = Boccaletti | first2 = S. | last3 = Caldarelli | first3 = G | title = Mejora concurrente de la percolación y la sincronización en redes adaptativas | volume = 7 | journal = Scientific Reports | pages = 015103 | doi = 10. 1038/srep27111 | pmid = 27251577 | pmc = 4890019 | año = 2016 | arxiv = 1511.05468 | bibcode = 2016NatSR...627111E }}</nowiki></ref> mediante el uso del [[Modelo de aptitud (teoría deun redes)|modelo de aptitud]], lo que muestra la mejora de la sincronización y la [[Neuropercolación|percolación]] de forma autoorganizada.
 
=== Interacción variable entre osciladores ===
=== Variaciones de la topología de la red y de los pesos de la red: de la coordinación de vehículos a la sincronización cerebral ===
[[File:Wesphysdemo - Synchronized Metronomes.webm|thumb|upright=1.1|[[Metrónomo|Metrónomos]], inicialmente desfasados, se sincronizan a través de pequeños movimientos de la base sobre la que están colocados. Se ha demostrado que este sistema es equivalente al modelo Kuramoto.<ref>{{cite journal|url=http://www.math.pitt.edu/~bard/classes/mth3380/syncpapers/metronome.pdf|title=Sincronización de metrónomos|last1=Pantaleone|first1=James|date=Octubre 2002|journal=American Journal of Physics|volume=70|issue=10|pages=992-1000|bibcode=2002AmJPh..70..992P|doi=10. 1119/1.1501118}}</ref>]] Algunos trabajos en la comunidad de control se han centrado en el modelo Kuramoto en redes yen conlas pesos heterogéneos (es decir,que la fuerza de interconexión entre dos osciladores cualesquiera puede seres arbitraria). La dinámica de este modelo es la siguiente:
 
: <math> \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \sum_{j=1}^{N} a_{ij} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>
 
donde <math>a_{ij}</math> es un número real positivo no nulo si el oscilador <math>j</math> está conectado al oscilador <math>i</math>.
donde <math>a_{ij}</math> es un número real positivo no nulo si el oscilador <math>j</math> está conectado al oscilador <math>i</math>. Dicho modelo permite un estudio más realista de, por ejemplo, las bandadas, la escolarización y la coordinación de vehículos.<ref>{{cite journal|title=Synchronization in complex networks of phase oscillators: A survey|last1=Dorfler|first1=F.|last2=Bullo|first2=F.|journal=Automatica|volumen=50|issue=6|pages=1539-1564|doi=10.1016/j.automatica.2014.04.012|año=2014}}</ref> En el trabajo de Dörfler y colegas, varios teoremas proporcionan condiciones rigurosas para la sincronización de fase y frecuencia de este modelo. Otros estudios, motivados por observaciones experimentales en neurociencia, se centran en derivar condiciones analíticas para la sincronización en racimo de osciladores Kuramoto heterogéneos en topologías de red arbitrarias.<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Menara | first1 = T. | last2 = Baggio | first2 = G. | last3 = Bassett | first3 = D. | last4 = Pasqualetti | first4 = F. | journal = IEEE Transactions on Control of Network Systems | pages = 302-314 | volume = 7 | issue = 1 | title = Stability Conditions for Cluster Synchronizations in Networks of Heterogeneous Kuramoto Oscillators | year = 2020 | doi = 10.1109/TCNS.2019 .2903914 | arxiv = 1806.06083 | s2cid = 73729229 }}</nowiki></ref> Dado que el modelo de Kuramoto parece desempeñar un papel clave en la evaluación de los fenómenos de sincronización en el cerebro,<ref>{{cite journal|title=Role of local network oscillations in resting-state functional connectivity|last1=Cabral|first1=J.|last2=Hugues|first2=E.|journal=NeuroImage|volume=57|issue=1|pages=130-139|doi=10.1016/j.neuroimage.2011 .04.010|pmid=21511044|last3=Sporns|first3=O.|last4=Deco|first4=G.|year=2011|s2cid=13959959}}</ref> condiciones teóricas que apoyan los hallazgos empíricos pueden allanar el camino para una comprensión más profunda de los fenómenos de sincronización neuronal.
 
Este modelo permite un estudio más realista de, por ejemplo, la coordinación de bandadas de pájaros o de vehículos.<ref>{{cite journal|title=Synchronization in complex networks of phase oscillators: A survey|last1=Dorfler|first1=F.|last2=Bullo|first2=F.|journal=Automatica|volumen=50|issue=6|pages=1539-1564|doi=10.1016/j.automatica.2014.04.012|año=2014}}</ref> Dado que el modelo de Kuramoto parece desempeñar un papel clave en la evaluación de los fenómenos de sincronización en el cerebro,<ref>{{cite journal|title=Role of local network oscillations in resting-state functional connectivity|last1=Cabral|first1=J.|last2=Hugues|first2=E.|journal=NeuroImage|volume=57|issue=1|pages=130-139|doi=10.1016/j.neuroimage.2011 .04.010|pmid=21511044|last3=Sporns|first3=O.|last4=Deco|first4=G.|year=2011|s2cid=13959959}}</ref> estas variaciones podrían allanar el camino para una comprensión más profunda de los fenómenos de sincronización neuronal.<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Menara | first1 = T. | last2 = Baggio | first2 = G. | last3 = Bassett | first3 = D. | last4 = Pasqualetti | first4 = F. | journal = IEEE Transactions on Control of Network Systems | pages = 302-314 | volume = 7 | issue = 1 | title = Stability Conditions for Cluster Synchronizations in Networks of Heterogeneous Kuramoto Oscillators | year = 2020 | doi = 10.1109/TCNS.2019 .2903914 | arxiv = 1806.06083 | s2cid = 73729229 }}</nowiki></ref>
=== Variaciones de la función de interacción de fase ===
Kuramoto aproximó la interacción de fase entre dos osciladores cualesquiera por su primera componente de Fourier, a saber <math>Gamma(\phi) = \sin(\phi)</math>, donde <math>\phi = \theta_j - \theta_i</math>. Se pueden obtener mejores aproximaciones incluyendo componentes de Fourier de orden superior, <math>\Gamma(\phi) = \sin(\phi) + a_1 \sin(2\phi + b_1) + ... + a_n \sin(2n\phi + b_n)</math>, donde los parámetros <math>a_i</math> y <math>b_i</math> deben ser estimados. Por ejemplo, la sincronización entre una red de [[Modelo Hodgkin-Huxley|Neuronas Hodgkin-Huxley]] débilmente acopladas puede replicarse utilizando osciladores acoplados que conservan las cuatro primeras componentes de Fourier de la función de interacción.<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Hansel | first1 = D. | last2 = Mato | first2 = G. | last3 = Meunier | first3 = C | issue = 5 | journal = Europhysics Letters | pages = 367-372 | title = Phase Dynamics for Weakly Coupled Hodgkin-Huxley Neurons | volume = 23 | year = 1993|bibcode = 1993EL.....23..367H |doi = 10. 1209/0295-5075/23/5/011 }}</nowiki></ref> La introducción de términos de interacción de fase de orden superior también puede inducir fenómenos dinámicos interesantes como los estados parcialmente sincronizados, <ref><nowiki>{Cite journal|last1=Clusella|first1=Pau|last2=Politi|first2=Antonio|last3=Rosenblum|first3=Michael|date=2016|title=Un modelo mínimo de sincronía parcial autoconsistente|journal=New Journal of Physics|language=es|volumen=18|issue=9|pages=093037|doi=10. 1088/1367-2630/18/9/093037|issn=1367-2630|bibcode=2016NJPh...18i3037C|arxiv=1607.07178}}</nowiki></ref> [[Ciclo heteroclínico|ciclos heteroclínicos]],<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Hansel | first1 = D. | last2 = Mato | first2 = G. | last3 = Meunier | first3 = C | title = Clustering and slow switching in globally coupled phase oscillators | journal = Physical Review E | volume = 48 | issue = 5 | pages = 3470-3477 |doi=10.1103/physreve.48 .3470 | pmid = 9961005 | año = 1993|bibcode = 1993PhRvE..48.3470H }}</nowiki></ref> y [[Teoría del caos|dinámica caótica]].<ref>{{cite journal|title=Chaos in Symmetric Phase Oscillator Networks|last1=Bick|first1=C.|last2=Timme|first2=M.|journal=Physical Review Letters|volume=107|issue=24|pages=244101|bibcode=2011PhRvL.107x4101B|doi=10.1103/PhysRevLett.107.244101|pmid=22243002|last3=Paulikat|first3=D.|last4=Rathlev first4 = D.|last5=Ashwin|first5=P.|year=2011|s2cid=16144737}}</ref>
 
== Implementaciones de software ==
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Kuramoto»