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Una '''función cuadrática''' es la que corresponde a un polinomio en '''x''' de segundo grado, según la forma:
[[Image:Función cuadrática 03.svg |right|300px]]
: <math> f(x) = ax^2 + bx + c \, </math>
donde '''a''', '''b''' y '''c''' son constantes y '''a''' distinto de 0.
la representación gráfica en el plano '''xy''' haciendo:
: <math> y = f(x) \, </math>
esto es:
: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>
es una [[Parábola (matemática)|parábola]] vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de '''a'''.
== Estudio de la función ==
==== Corte con el eje y ====
[[Image:Función cuadrática 11.svg |right|300px]]
La función corta el '''eje y''' en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje '''y''' cuando '''x''' vale cero (0):
: <math> y = f(0) = a * 0^2 + b * 0 + c \, </math>
lo que resulta:
: <math> y = f(0) = c \, </math>
la función corta el '''eje y''' en el punto (0, c), siendo '''c''' el termino independiente de la función.
==== Corte con el eje x ====
La función corta al '''eje x''' cuando '''y''' vale 0:
: <math> ax^2 + bx + c = 0 \, </math>
las distintas soluciones de esta [[ecuación de segundo grado]], son los casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión:
: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>
donde:
: <math> (b^2 - 4 a c) \,</math>
se le llama '''discriminante''', '''D''':
: <math> D = b^2 - 4 a c \, </math>
según el signo del discriminante podemos distinguir:
* D > 0
La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al '''eje x''' en dos puntos: '''x1''', '''x2'''
* D = 0
La ecuación tiene una solución, la parábola solo tiene un punto en común con el '''eje x''', en la cual es tangente a este eje donde las dos ramas de la parábola confluyen.
* D < 0
La ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al '''eje x'''.
=== Extremos relativos ===
Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:
: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>
calculamos su derivada respecto a '''x''':
: <math> \frac{dy}{dx} = 2ax + b </math>
que si la igualamos a cero, tenemos:
: <math> 2ax + b = 0 \, </math>
donde '''x''' valdrá:
: <math> x = \frac{-b}{2a} </math>
En la vertical que pasa por este valor de '''x''' se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.
== Véase también ==
: [[Polinomio]]
: [[Función constante]]
: [[Función lineal]]
: [[Anexo:Funciones matemáticas|Funciones matemáticas]]
: [[Geometría analítica]]
: [[Pendiente de una recta]]
[[bg:Квадратна функция]]
[[cs:Kvadratická funkce]]
[[da:Andengradspolynomium]]
[[de:Quadratische Funktion]]
[[en:Quadratic function]]
[[nl:Kwadratische functie]]
[[ja:二次関数]]
[[pl:Funkcja kwadratowa]]
[[pt:Função Polinomial#Fun.C3.A7.C3.A3o_do_Segundo_Grau]]
[[sk:Kvadratická funkcia]]
[[sl:Kvadratna funkcija]]
[[sv:Andragradsfunktion]]
[[Categoría:Funciones reales]]
[[Categoría:Geometría analítica]]
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