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Fusionando con completitud
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En [[análisis funcional]] un [[espacio métrico]] <math>X</math> se dice que es '''completo''' si toda [[sucesión de Cauchy]] [[convergencia|converge]], es decir, existe un elemento del espacio que es el [[Límite de una sucesión|límite]] de la sucesión.
 
La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a <math>X</math> y que no esté en <math>X</math>. Así, por ejemplo, la recta real es un espacio completo, pero si le saco un punto, deja de serlo. Del mismo modo, todo [[intervalo]] cerrado en los reales es completo, pero todo intervalo acotado y abierto o semi-abierto no lo es. Por ejemplo, el intervalo <math>(0,1)</math> no es completo, pues la sucesión <math>a_n=\frac{1}{n}</math> es claramente de Cauchy, pero no converge, pues su límite es cero, punto que "no existe", pues no está en el conjunto.
 
La importancia de los espacios completos es que es mucho más fácil demostrar que una sucesión es de Cauchy a que converge, dado que para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge. Una vez demostrada que la sucesión es de Cauchy por la completitud del espacio, se llega a que la sucesión converge. Se ha podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales en determinadas condiciones.
* Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea Y un subconjunto no vacío de X. Entonces (Y,d) es completo si y sólo si Y es un [[conjunto cerrado]] en (X,d).
* [[Teorema de las esferas encajadas]]. Sea (X,d) un espacio métrico. Es completo si y sólo si cualquier sucesión de esferas encajadas cuyos radios tiendan a cero tiene intersección no vacía.
* Todo [[espacio vectorial]] [[Operador norma|normado]] de [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] finita es completo.
*Todo espacio métrico puede ser completado, esto es, existe otro espacio métrico <math>(Y,d')</math> completo, y una [[isometría]] <math>i \colon X \to Y</math>, tal que <math>i(X)</math> es un [[conjunto denso]] en <math>Y</math>. Así, por ejemplo, la completación del intervalo <math>(0,1)</math> resulta ser el intervalo <math>[0,1]</math>, y la completación de los raciones son los reales.
* [[Teorema del punto fijo de Banach]] o Teorema de la Aplicación contractiva. Sea X un espacio métrico completo, y sea: f : X en X una [[aplicación contractiva]]. Entonces, existe un único punto p de X tal que f(p) = p.