Diferencia entre revisiones de «Espectro de un operador»

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Consideremos el espacio de Hilbert <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> y consideremos el [[operador autoadjunto]] u [[observable]][[momento lineal]] de la mecánica cuántica:
{{ecuación|
<math>\Psi(x) \mapsto \hat{P}_x\Psi(x) =i\frac{d}{dx}\Psi(x) \qquad
\mathcal{D}\left(i\frac{d}{dx}\right) = \{\Psi \in L^2(\mathbb{R})| \Psi' \in L^2(\mathbb{R})\}</math>
||left}}
 
===Operador posición===
El el mismo espacio de Hilbert anterior definimos el llamado '''operador posición''' de la mecánica cuántica y su dominio como:
{{ecuación|
<math>\Psi(x) \mapsto \hat{X}\Psi(x) = x\Psi(x) \qquad
\mathcal{D}(\hat{X}) = \{\Psi \in L^2(\mathbb{R})| x\Psi(x) \in L^2(\mathbb{R})\}</math>
||left}}
Puede verse que al igual que el operador momento, su espectro es puramente puntual y coincide con el eje real, es decir, es posible encontrar una partícula libre en cualquier posición del espacio. Esto puede verse usando la sucesión de funciones:
{{ecuación|
<math>\Psi_n = \sqrt{\frac{1}{\pi} \left(\frac{n}{n^2(x-\lambda)^2+1}\right)} \qquad \Rightarrow
\qquad \lim_{n\to\infty} \|\hat{X}\Psi_n -\lambda \Psi_n \| = 0
</math>
||left}}
 
===Hamiltoniano del oscilador armónico===
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