Diferencia entre revisiones de «Espectro de un operador»

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El estudio de los espectros de los operadores sobre un cieto espacio y sus propiedades se conoce como [[teoría espectral]].
 
== Motivación ==
En dimensión finita, una aplicación lineal <math>L:\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{C}^n</math>, que fijada una base se representa por una matriz, siempre tiene algún valor propio <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> que sea solución de la siguiente ecuación:
{{ecuación|
Carece de valores propios según la definición {{eqnref|1}}. Sin embargo, con la generalización del espectro puntual al más amplio concepto de espectro, puede probarse que todo [[operador lineal acotado]] en un [[espacio de Banach]] [[número complejo|complejo]] tiene un espectro no-vacío.
 
== Resolvente y espectro de un operador ==
El espectro de un operador lineal ''A'' tiene que ver con la búsqueda de soluciones de la ecuación:
{{ecuación|
Los [[número complejo|valores complejos]] para los cuales el operador anterior está bien definido y es [[operador acotado|acotado]] sobre un dominio [[conjunto denso|denso]] se dice pertenecen al conjunto resolvente. El complemento del conjunto resolvente, es decir, los valores para que el operador resolvente presenta "problemas" por no estar definido, no ser acotado o no tener un dominio denso forman el espectro del operador.
 
== Clasificación del espectro ==
Dado un operdor acotado ''B'', éste es invertible (i.e. tiene una operdor inverso acotado), si y sólo si ''B'' está acotado inferiormente y tiene un conjunto imagen [[conjunto denso|denso]] en el espacio sobre el espacio de Banach sobre el que está definido. El espectro, no-vacío, de un operador acotado siempre puede dividirse en tres partes:
 
Las siguientes tres secciones dan más detalles sobre las características de cada uno de estos tres subconjuntos del espectro de un operador.
 
=== Espectro puntual ===
Si el operador <math>(B-\lambda I) \;</math> no es [[Función inyectiva|inyectivo]] para un cierto valor de <math>\lambda\;</math>, entonces claramente no es invertible. Los valores de <math>\lambda\;</math> para los que sucede eso, forman el espectro puntual de ''B'', denotado como <math>\sigma_p(B)\;</math>, claramente: <math>P\sigma(B):=\sigma_p(B)\subseteq \sigma(B)</math>. Este espectro tiene algunas propiedades interesantes:
* En dimensión finita el espectro puntual es no vacío.
* Un operador normal (autoadjunto, unitario, ...) carece de espectro residual.
 
=== Espectro continuo ===
El espectro continuo, también llamado "espectro puntual aproximado" prestándose a malas interpretaciones. La razón de este otro nombre se debe a que cuando <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> pertenece al espectro continuo <math>\sigma_c = C\sigma\;</math>, aunque no puede encontrarse un vector propio (propiamente dicho) puede construirse una sucesión de vectores casipropios tal que:
{{ecuación|
-->
 
=== Espectro residual ===
Un operador ''B'' puede ser acotado inferiormente y no invertible. Por ejemplo el operador de desplazamiento unilateral definido en <math>\ell^2(\mathbb{N})</math>, similar al definido en la sección anterior, es un ejemplo. Este operador es una [[isometría]], por tanto está acotado inferiormente por 1. Pero no es invertible por no ser [[Función sobreyectiva|sobreyectivo]]. El conjunto de los valores para los cuales ''B'' - λ''I'' no tiene un [[conjunto imagen]] o '''rango''' [[conjunto denso|denso]] se conoce espectro residual y se designa como, <math>\sigma_r(B) = R\sigma(B)\;</math>.
 
*El espectro residual de un '''operador normal''' es nulo. Esto hace que la mayoría de operdores de la mecánica cuántica por ser normales (autoadjuntos o unitarios) carezcan de espectro residual. Sin embargo, el espectro residual del '''operador creación''' de [[bosón|partículas bosónicas]] coincide con todo el plano complejo.
 
== Espectro de operdores acotados ==
Un operador acotado ''B'' sobre un espacio de Banach <math>\mathcal{B}</math> es un operador tal que el siguiente máximo existe:
{{ecuación|
* Si ''T'' es un [[operador normal]] en un espacio de Hilbert, entonces un teorema muy notable, conocido como [[teorema espectral]], asegura que el espectro residual es vacío.
 
== Espectro de operadores no acotados ==
La definición de espectro
 
:<math>\, S (T - \lambda) = I_D</math>
 
implies ''D'' &sub; ''Ran''(''S''). Therefore, ''λ'' being in the resolvent set of ''T'' means
 
:<math>T-\lambda I: D \to X</math>
 
is bijective. (Recall that bijectivity of ''T - &lambda;λ'' is not implied by invertibility if ''T'' is bounded.)
 
The converse is true if one introduces the additional assumption that ''T'' is closed. By the [[closed graph theorem]], if ''T - λ'': ''D'' &rarr; ''X'' is bijective, then its (algebraic) inverse map is necessarily a bounded operator. (Notice the completeness of ''X'' is required in invoking the closed graph theorem.) Therefore, in contrast to the bounded case, the condition that a complex number ''λ'' lie in the spectrum of ''T'' becomes a purely algebraic one: for a closed <math>T</math>, <math>\lambda</math> is in the spectrum of <math>T</math> if and only if <math>T-\lambda</math> is not bijective.
-->
== Ejemplos ==
=== Operador momento lineal ===
Consideremos el espacio de Hilbert <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> y consideremos el [[operador autoadjunto]] u [[observable]] [[momento lineal]] de la mecánica cuántica:
{{ecuación|
||left}}
 
=== Operador posición ===
El el mismo espacio de Hilbert anterior definimos el llamado '''operador posición''' de la mecánica cuántica y su dominio como:
{{ecuación|
||left}}
 
=== Hamiltoniano del oscilador armónico ===
El [[hamiltoniano (mecánica cuántica)|hamiltoniano]] de un [[oscilador armónico]] unidimensional puede representarse en el mismo espacio de Hilbert que los anteriores operadores:
{{ecuación|
||left}}
 
=== Operadores creación y destrucción ===
{{AP|operadores creación y destrucción}}
 
== Referencias ==
{{reflist}}
 
*Richtmyer, Robert D. (1978): ''Principles of advanced mathematical physics'', Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.
 
== Referencias ==
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=== Bibliografía ===
*Dales et al, ''Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis'', ISBN 0-521-53584-0.
*Richtmyer, Robert D. (1978): ''Principles of advanced mathematical physics'', Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.
 
==Ver Véase también ==
*[[Teorema de descomposición espectral]], [[espectro esencial]].
*[[operador autoadjunto]], [[Hamiltoniano (mecánica cuántica)]].
[[de:Spektrum (Operatortheorie)]]
[[en:Spectrum (functional analysis)]]
[[it:Spettro (matematica)]]
[[he:ספקטרום (מתמטיקה)]]
[[it:Spettro (matematica)]]
[[pt:Espectro (matemática)]]
[[ru:Спектр оператора]]
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