Diferencia entre revisiones de «Espectro de un operador»

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m (Robot: arreglando referencias y otros; cambios triviales)
Consideremos el espacio de Hilbert <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> y consideremos el [[operador autoadjunto]] u [[observable]] [[momento lineal]] de la mecánica cuántica:
{{ecuación|
<math>\Psi(x) \mapsto \hat{P}_x\Psi(x) = -i\frac{d}{dx}\Psi(x) \qquad
\mathcal{D}\left(-i\frac{d}{dx}\right) = \{\Psi \in L^2(\mathbb{R})| \Psi' \in L^2(\mathbb{R})\}</math>
||left}}
El espectro de este operador es puramente continuo, coincide con el eje real, es decir, todo valor real forma parte del espectro continuo:
{{ecuación|
<math>\sigma\left(-i\frac{d}{dx}\right) = C\sigma\left(-i\frac{d}{dx}\right) = \mathbb{R}</math>
||left}}
Para ver esto basta considerar la sucesión de vectores aproximadamente propios dada por:
{{ecuación|
<math>\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{\pi n}} \left(\frac{n^2}{x^2+n^2}\right)e^{i\lambda x} \qquad \Rightarrow
\qquad \lim_{n\to\infty} \|-i\frac{d}{dx}\Psi_n -\lambda \Psi_n \| = 0
</math>
||left}}
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