Diferencia entre revisiones de «Espectro de un operador»

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=== Operadores creación y destrucción ===
{{AP|operadores creación y destrucción}}
En el espacio de Hilbert <math>\mathcal{H}=l^2</math> de secuencias de números complejos de cuadrado sumable, se define la [[base de Hilbert]]:
{{ecuación|
<math>\mathcal{B}_\mathcal{H} = \{\phi_n| \phi_n = (0,0,\dots,x_n=1,0,0,\dots) \}</math>
||left}}
Mediante la cual se definen los operadores creación <math>\mathbf{a}^\dagger</math> y destrucción <math>\mathbf{a}</math> mediante las relaciones:
{{ecuación|
<math>\mathbf{a}\phi_n = \sqrt{n}\phi_{n-1}, \qquad \qquad
\mathbf{a}^\dagger\phi_n = \sqrt{n+1}\phi_{n+1} </math>
||left}}
Obviamente se trata de operadores no acotados definidos sólo sobre un [[conjunto denso|dominio denso]] dado por:
{{ecuación|
<math>\mathcal{D} =\mbox{Dom}(\mathbf{a}) = \mbox{Dom}(\mathbf{a}^\dagger) =
\left\{\xi=(x_0,x_1,x_2,\dots)|\quad \sum_n n|x_n|^2 \right\}</math>
||left}}
El especto de estos operadores tiene las siguientes propiedades:
* El espectro puntual del operador destrucción es todo el plano complejo <math>\sigma_p(\mathbf{a}) = \mathbb{C}</math>.
* El espectro puntual del operador creación es vacío <math>\sigma_p(\mathbf{a}^\dagger) = \varnothing</math>.
* El espectro continuo de los operadores creación y destrucción es vacío <math>\sigma_c(\mathbf{a}) = \sigma_c(\mathbf{a}^\dagger) = \varnothing</math>
* El espectro residual del operador destrucción es vacío <math>\sigma_r(\mathbf{a}) = \varnothing</math>.
* El espectro residual del operador creación es todo el plano complejo <math>\sigma_r(\mathbf{a}^\dagger) = \mathbb{C}</math>.
Curiosamente el espectro del operador número definido a partir de los anteriores como:
{{ecuación|
<math>\mathbf{N} = \mathbf{a^\dagger}\mathbf{a}</math>
||left}}
Es puramente puntual y coincide con los números enteros <math>\sigma_p(\mathbf{N}) = \mathbb{Z}</math>.
 
== Referencias ==
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