Diferencia entre revisiones de «Espectro de un operador»

m
 
== Clasificación del espectro ==
Dado un operdoroperador acotado ''B'', éste es invertible (i.e. tiene una operdoroperador inverso acotado), si y sólo si ''B'' está acotado inferiormente y tiene un conjunto imagen [[conjunto denso|denso]] en el espacio sobre el espacio de Banach sobre el que está definido. El espectro, no-vacío, de un operador acotado siempre puede dividirse en tres partes:
 
* '''Espectro puntual'''. Para ciertos valores el operador <math>(B-\lambda I)</math> no es [[Función inyectiva|inyectivo]] y por tanto no puede definirse una [[Función inversa|inversa]]. Esos valores conforman el espectro puntual. Obviamente la ecuación {{eqnref|1}} sólo tiene soluciones para valores del espectro puntual, y una de esas soluciones se llama [[vector propio]].
* '''Espectro residual'''. Está formado por valores tales que el operador resolvente puede definirse sobre un dominio no denso. Este operador puede ser acotado o no acotado, pero eso es secundario a la hora de considerarlo en el espectro residual es si el dominio es o no denso.
 
En dimensión finita, el espectro continuo y residual de un operdoroperador siempre son vacíos, y el espectro coincide así con el espectro puntual. Esa es la razón por la cual el concepto de espectro generaliza el de espectro puntual, cuando consideramos dimensión infinita.
 
Las siguientes tres secciones dan más detalles sobre las características de cada uno de estos tres subconjuntos del espectro de un operador.
Un operador ''B'' puede ser acotado inferiormente y no invertible. Por ejemplo el operador de desplazamiento unilateral definido en <math>\ell^2(\mathbb{N})</math>, similar al definido en la sección anterior, es un ejemplo. Este operador es una [[isometría]], por tanto está acotado inferiormente por 1. Pero no es invertible por no ser [[Función sobreyectiva|sobreyectivo]]. El conjunto de los valores para los cuales ''B'' - λ''I'' no tiene un [[conjunto imagen]] o '''rango''' [[conjunto denso|denso]] se conoce espectro residual y se designa como, <math>\sigma_r(B) = R\sigma(B)\;</math>.
 
*El espectro residual de un '''operador normal''' es nulo. Esto hace que la mayoría de operdoresoperadores de la mecánica cuántica por ser normales (autoadjuntos o unitarios) carezcan de espectro residual. Sin embargo, el espectro residual del '''operador creación''' de [[bosón|partículas bosónicas]] coincide con todo el plano complejo.
 
== Espectro de operdoresoperadores acotados ==
Un operador acotado ''B'' sobre un espacio de Banach <math>\mathcal{B}</math> es un operador tal que el siguiente máximo existe:
{{ecuación|
Sea ahora <math>\mathcal{B}</math> un álgebra de Banach que contiene un [[Anillo unitario|elemento unidad]] ''I''. En esas condiciones se define el '''espectro''' de un elemento <math>B\in\mathcal{B}</math>, denotado usualmente como <math>\sigma(B)\;</math>, consiste en todos aquellos <math>\lambda\in\mathbb{C}</math> tales que el operador <math>B-\lambda I\;</math> no tiene [[Función recíproca|inverso]] en <math>\mathcal{B}</math>.
 
Dado un espacio de Banach <math>(X, \|\cdot\|);</math>, entonces el conjunto de operadores acotados sobre este espacio, denotado como <math>\mathcal{B}(X)</math>, es de hecho un álgebra de Banach. Usualmente, la teoría espectral de operdoresoperadores definidos en un cierto espacio de Banach trabaja con este álgebra de Banach unitaria de operadores acotados.
 
El espectro de un operador acotado tiene las siguientes propiedades básicas:
 
== Espectro de operadores no acotados ==
La definición de espectro anterior puede ser extendida sin dificultad a operadores no acotados definidos en todo un espacio de Banach ''X''. Procediendo de manera similar al caso de operdoresoperadores acotados se introduce el conjunto resolvente del operador:
{{ecuación|
<math>T: D (\subset X) \longrightarrow X</math>
 
=== Operadores creación y destrucción ===
{{AP|operadores de creación y destrucción}}
En el espacio de Hilbert <math>\mathcal{H}=l^2</math> de secuencias de números complejos de cuadrado sumable, se define la [[base de Hilbert]]:
{{ecuación|
380

ediciones