Diferencia entre revisiones de «Espectro de un operador»

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{{endesarrollo}}
El '''espectro de un operador''' es un conjunto de valores complejos que generaliza el concepto de [[Vector propio y valor propio|valor propio]] (autovalor) a [[espacio vectorial|espacios vectoriales]] de dimensión infinita. El concepto es muy importante tanto en [[análisis funcional]] como en [[mecánica cuántica]].
 
El estudio de los espectros de los operadores sobre un cietocierto espacio y sus propiedades se conoce como [[teoría espectral]].
 
== Motivación ==
||left}}Donde además debe cumplirse que <math>\mathbf{v} \ne \mathbf{0} \in \mathbb{C}</math>. El conjunto de todos los valores <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> que satisface la ecuación anterior recibe el nombre de espectro puntual de la aplicación lineal ''L''.
 
Sin embargo, cuando buscamos soluciones como la anterior para aplicaciones lineales (operadores) en espacios de dimensión infinita no siempre existe solución. Por ejemplo en el [[espacio de Hilbert]] [[espcioespacio Lp|ℓ<sup>2</sup>]] el "operador desplazamiento a la derecha" que viene dado por:
{{ecuación|
<math>(x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots)</math>
||left}}
Carececarece de valores propios según la definición {{eqnref|1}}. Sin embargo, con la generalización del espectro puntual al más amplio concepto de espectro, puede probarse que todo [[operador lineal acotado]] en un [[espacio de Banach]] [[número complejo|complejo]] tiene un espectro no-vacío.
 
== Resolvente y espectro de un operador ==
<math>R_\lambda = (A-\lambda I)^{-1}\;</math>
||left}}
Los [[número complejo|valores complejos]] para los cuales el operador anterior está bien definido y es [[operador acotado|acotado]] sobre un dominio [[conjunto denso|denso]] se dice que pertenecen al conjunto resolvente. El complemento del conjunto resolvente, es decir, los valores para los que el operador resolvente presenta "problemas" por no estar definido, no ser acotado o no tener un dominio denso forman el espectro del operador.
 
== Clasificación del espectro ==
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