Diferencia entre revisiones de «Teorema de Abel-Ruffini»
Contenido eliminado Contenido añadido
Pongo el otro nombre en español por el que se conoce al teorema, pongo lo de grupo resoluble, elimino la referencia a la wikipedia inglesa (que ya sale a la izquierda), etc |
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Línea 1:
Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:
El contenido de este problema es generalmente mal entendido. El teorema ''no'' afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no puedan ser resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene coeficientes [[Número real|reales]] o [[Número complejo|complejos]] y permitimos soluciones complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; éste es el [[Teorema fundamental del álgebra|teorema fundamental del álgebra]]. Aunque estas soluciones no pueden ser computadas exactamente, pueden serlo hasta cualquier grado de exactitud deseado usando métodos numéricos tales como el [[Método de Newton|método de Newton-Raphson]] o el [[Método de Laguerre]], y de ese modo no son diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómicas de segundo, tercero y cuarto grados. ▼
:<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,</math>
de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de [[suma]]s, [[resta]]s, [[multiplicación|multiplicaciones]], divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.
== Aclaraciones ==
El teorema solo se refiere a la forma que una solución debe tomar. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de [[Suma|suma]], [[Multiplicación|multiplicación]],y [[Radicación|radicación]].▼
El contenido de este problema es generalmente mal entendido:
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▲# El teorema solo se refiere a la forma que una solución debe tomar. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de [[Suma|suma]], [[Multiplicación|multiplicación]],y [[Radicación|radicación]].
x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.▼
# El teorema es falso para ecuaciones de grados inferiores a cinco. Por ejemplo, las soluciones de la [[ecuación de segundo grado]] ''ax<sup>2</sup> + bx + c = 0'' pueden ser expresadas en términos de adición, multiplicación y extracción de raíces como:
▲#: <math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
#: Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de [[Ecuación de tercer grado|tercer]] y [[Ecuación de cuarto grado|cuarto grado]], usando raíces cúbicas y cuartas, han sido conocidas desde el siglo XVI.▼
# Para grados superiores o iguales a cinco, el teorema especifica que no puede resolverse por radicales cualquier ecuación pero hay ecuaciones particulares que sí pueden resolverse por radicales. Así, el [[teorema de Saüch-Ruffini]] dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada de ese modo como por ejemplo la ecuación 'x''<sup>5</sup> - ''x'' + 1 = 0 ''. Sin embargo, algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo ''x''<sup>5</sup> - ''x''<sup>4</sup> - ''x'' + 1 = 0.
== Demostración ==
▲Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de [[Ecuación de tercer grado|tercer]] y [[Ecuación de cuarto grado|cuarto grado]], usando raíces cúbicas y cuartas, han sido conocidas desde el siglo XVI.
▲El teorema de Saüch-Ruffini dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada de ese modo. La ecuación 'x''<sup>5</sup> - ''x'' + 1 = 0 ''es un ejemplo. Algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo ''x''<sup>5</sup> - ''x''<sup>4</sup> - ''x'' + 1 = 0. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado por [[Évariste Galois]] y es parte de la [[Teoría de Galois]]: una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y sólo si su [[Grupo de Galois|grupo de Galois]] es un grupo resolvible (en inglés: [http://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group]. En el análisis moderno, la razón por la que las ecuaciones polinomiales de segundo, tercero cuarto grado pueden ser resueltas siempre mediante radicales mientras que las ecuaciones de grado superior no es simplemente el hecho algebraico de que los grupos simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolvibles, mientras que Sn no es resolvible para ''n'' ≥ 5.''
La siguiente prueba está basada en la [[Teoría de Galois]]. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un [[Grupo de Galois]] que se puede resolver, entonces la prueba del teorema de Abel-Ruffini viene de computar el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.
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