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Línea 1: En [[teoría de anillos]] (una rama del [[álgebra abstracta]]), un '''anillo conmutativo''' es un [[anillo (matemáticas)\|anillo]] (''R'', +, ·) en el que la [[operación binaria\|operación]] de multiplicación · es [[conmutatividad\|conmutativa]]; es decir, si para cualesquiera ''a'', ''b'' ∈ ''R'', ''a''·''b'' = ''b''·''a''. Un [[anillo (matemáticas)\|anillo]] (no necesariamente [[anillo unitario\|unitario]]) <math>(R,+,\cdot)</math> se denomina '''anillo conmutativo''' si la [[operación binaria\|operación]] producto (<math>\cdot</math>) cumple la [[propiedad conmutativa]], esto es, si se cumple que <math>a \cdot b = b \cdot a</math> cualesquiera que sean <math>a,b \in R</math>. Por lo tanto, en un anillo conmutativo, el centro del anillo coincide con todo el anillo. La rama de la teoría de anillos que estudia los anillos conmutativos se denomina '''álgebra conmutativa'''. Sean <math>(R,+,\cdot)</math> y <math>(S,+,\cdot)</math> dos anillos, y <math>f:R \longrightarrow S</math> un [[anillo (matemáticas)\|homomorfismo de anillos]]. Sean <math>a,b \in R</math> dos elementos cualesquiera: ==Ejemplos== #Si <math>S</math> es conmutativo, <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) = f(b) \cdot f(a)= f(b \cdot a)</math>, luego si es <math>f</math> monomorfismo -esto es, homomorfismo [[aplicación (matemáticas)\|inyectivo]]- ha de ser <math>R</math> también conmutativo (no se puede establecer un monomorfismo de un anillo no conmutativo a uno conmutativo). El ejemplo más importante es tal vez el de los [[número entero\|números enteros]] con las operaciones usuales de suma y multiplicación, ambas conmutativas. Este anillo usualmente se denota por '''Z''', por la palabra [[idioma alemán\|alemana]] ''Zahlen'' (números). #Si <math>R</math> es conmutativo, como <math>f(a) \cdot f(b) = f(a \cdot b) = f(b \cdot a) = f(b) \cdot f(a)</math>, con lo que la imagen de <math>R</math> estará en el centro de <math>S</math> (la imagen de un anillo conmutativo es un anillo conmutativo). Los [[número racional\|números racionales]], [[número real\|reales]], y [[número complejo\|complejos]] forman anillos conmutativos con las operaciones usuales; más aún, son [[cuerpo (matemáticas)\|campos]]. Más generalmente, todo campo es un anillo conmutativo por definición. El mejor ejemplo de un anillo '''no''' conmutativo es el conjunto de matrices cuadradas de 2×2 con valores reales. Por ejemplo, la multiplicación matricial :<math>\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} </math> da un resultado distinto que si se invierte el orden de los factores: :<math>\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}. </math> Si ''n'' > 0 es un entero, el conjunto '''Z'''<sub>''n''</sub> de enteros [[aritmética modular\|módulo]] ''n'' forma un anillo conmutativo con ''n'' elementos. Si ''R'' es un anillo conmutativo, el conjunto de [[polinomio]]s de variable ''X'' con coeficientes en ''R'' forma un nuevo anillo conmutativo, denotado por ''R''[''X'']. El conjunto de números racionales de denominador impar forma un anillo conmutativo, estrictamente contenido en el anillo '''Q''' de los racionales, y que contiene propiamente al '''Z''' de los enteros. ==Propiedades== Si ''f'' : ''R'' → ''S'' es un homomorfismo de anillos entre ''R'' y ''S'', ''S'' es conmutativo, y ''f'' es [[función inyectiva\|inyectiva]] (esto es, un [[monomorfismo]]), ''R'' también debe ser conmutativo, pues ''f''(''a''·''b'') = ''f''(''a'')·''f''(''b'') = ''f''(''b'')·''f''(''a'') = ''f''(''b''·''a''). *Si ''f'' : ''R'' → ''S'' es un homomorfismo de anillos entre ''R'' y ''S'', con ''R'' es conmutativo, la imagen ''f''(''R'') de ''R'' será también conmutativa; en particular, si ''f'' es [[función sobreyectiva\|sobreyectiva]] (esto es, un [[epimorfismo]]), ''S'' será conmutativo también. El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los [[anillo conmutativo unitario\|anillos conmutativos unitarios]]. Línea 12 ⟶ 49: [[categoría:Teoría de anillos\|Anillo conmutativo]] [[en:Commutative ring]] [[fr:Anneau commutatif]]

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