Diferencia entre revisiones de «Espacio métrico completo»

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La idea intuitiva de este concepto es que no hay nada "pegado" a <math>X</math> y que no esté en <math>X</math>. Así, por ejemplo, la recta real es un espacio completo, pero si le saco un punto, deja de serlo. Del mismo modo, todo [[intervalo]] cerrado en los reales es completo, pero todo intervalo acotado y abierto o semi-abierto no lo es. Por ejemplo, el intervalo <math>(0,1)</math> no es completo, pues la sucesión <math>a_n=\frac{1}{n}</math> es claramente de Cauchy, pero no converge, pues su límite es cero, punto que "no existe", pues no está en el conjunto.
 
La importancia de los espacios completos es que es mucho más fácil demostrar que una sucesión es de Cauchy a que converge, dado que para demostrar que una sucesión es de Cauchy no se necesita conocer el valor al que converge. Una vez demostrada que la sucesión es de Cauchy por la completitud del espacio, se llega a que la sucesión converge. Se ha podido construir en ellos métodos poderosos para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones (v.) numéricas, diferenciales o integrales en determinadas condiciones.
 
Si un [[espacio normado]] es completo con la distancia inducida por su norma, se llama [[espacio de Banach]].
Si además la norma está inducida por un [[producto escalar]], se dice que se trata de un [[espacio de Hilbert]].
 
== Definición ==
Sea (X,d) un espacio métrico donde X es un conjunto y d es una distancia definida sobre X. Se dice que X es completo respecto a la métrica d si para cualquier sucesión de Cauchy <math>\{x_k\}</math> converge a un valor x de X.
 
== Ejemplos ==
 
* El conjunto de los [[Número racional|números racionales]], <math>\mathbb{Q}</math>, con el valor absoluto como distancia (d(x,y) = abs(x-y))) no es completo dado que existen sucesiones de números racionales que convergen a [[números irracionales]]. Debido a la convergencia (en los números reales), dichas sucesiones son de Cauchy, pero el valor límite no es racional por lo que no convergen en los números racionales.
* El conjunto de los [[números reales]], <math>\mathbb{R}</math>, es completo con la métrica valor absoluto.
 
== Algunos resultados ==
 
* En un espacio métrico toda sucesión convergente es de [[sucesión de Cauchy|Cauchy]].
* [[Teorema del punto fijo de Banach]] o Teorema de la Aplicación contractiva. Sea X un espacio métrico completo, y sea: f : X en X una [[aplicación contractiva]]. Entonces, existe un único punto p de X tal que f(p) = p.
 
 
{{esbozo|matemática}}
[[Categoría:Topología]]
[[Categoría:Análisis funcional]]
[[cs:Úplný metrický prostor]]
[[da:Fuldstændigt metrisk rum]]
[[de:Vollständiger_RaumVollständiger Raum]]
[[en:Complete metric space]]
[[fi:Täydellisyys]]
[[fr:Espace complet]]
[[he:מרחב מטרי שלם]]
[[it:Spazio completo]]
[[ja:完備]]
[[ko:완비 거리공간]]
[[it:Spazio completo]]
[[he:מרחב מטרי שלם]]
[[nl:Volledig (topologie)]]
[[ja:完備]]
[[pl:Przestrzeń zupełna]]
[[pt:Espaço completo]]
[[ru:Полное пространство]]
[[fi:Täydellisyys]]
[[uk:Повний метричний простір]]
[[zh:完备空间]]
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