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[[ImageArchivo:Bump2D illustration.png|right|thumb|250px|Una función continuamente diferenciable]]

En análisis matemático, una clase diferenciable es una clasificación de una función de acuerdo a las propiedades de sus derivadas. Clases diferenciales de orden superior corresponden a la existencia de más derivadas. Funciones que tienen derivadas de todos los ordenesórdenes son llamadas infinitamente continuas, es decir que tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden finito.

* Una función es de clase '''C^''n''''', con ''n'' ≥≥ 1 y constante, si sus derivdas parciales de orden n son continuas. Estas funciones se denominan '''diferenciables finitas''' .

* Una función es denominada ''continuamente diferenciable'' si es de clase '''C^''n'' para todo n''', o lo que es lo mismo, es de clase '''C^∞∞'''.

== Clase Diferenciable ==

Considere un [[conjunto abierto]] en la [[recta real]] y una función ''f'' definida en ese conjunto con valores reales. Sea ''k'' un [[entero]] no negativo. La función es de '''clase ''C^k''''' si sus derivadas ''f<nowiki>'</nowiki>'', ''f<nowiki>''</nowiki>'', ..., ''f^(k)'' existen y son [[Continuidad | continuas ]] (la continuidad es automática para todas excepto para la última, ''f^(k)''). La función ''f'' se dice que es de '''clase ''C^∞''''', o '''continuamente diferenciable''',si existen todas las derivadas de todos los ordenesórdenes. ''f'' es de '''clase ''C^ω''''', o ''' [[Función holomorfa | analítica ]] ''', si ''f'' es continuamente diferenciable y es igual a la [[ serie de Taylor ]] expandida alrededor de un punto en su dominio.

== Construcción de funciones según especificaciones ==

lo cual significa que fijando f(''x'') = 0 para x &le;≤ 0 genera una función continuamente diferenciable. Combinaciones tales como f(''x'')f(1-''x'') pueden ser hechas con cualquier intervalo requerido como [[Soporte_compactoSoporte compacto|soporte]]; en este caso el intervalo [0,1]. Este tipo de funciones tienen un comportamiento extremadamente lento cerca de 0.

== Espacio topológico de las funciones C^''k'' ==

En un dominio acotado ''D'' en un [[espacio euclídeo]], el conjunto de funciones '''C'''^k conforman un [[espacio de Banach]] con la [[norma vectorial|norma]]

== Relación con la teoría analítica de funciones ==

es continuamente diferenciable para valores reales de ''z'' , pero tiene una [[singularidad]] en ''z'' = 0. ÉstoEsto es, el comportamiento cerca de ''z'' = 0 es malo; pero sucede que uno no puede verlo generalmente, ya que se suele trabajar con [[números reales]].

Las funciones continuamente diferenciables con un [[soporte compacto|soporte]] cerrado dado, son usadas en la construcción de '''particiones de la unidad diverenciables''' (ver [[partición de la unidad]]); éstas son esenciales en el estudio de [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]], por ejemplo, muestran que la [[variedad de Riemann]] puede ser definida globalmente empezando por la existencia local de ésta. Un caso simple es el de una '''[[función bump]]''' en la recta real, éstoesto es, una función continuamente diferenciable ''f'' que toma el valor 0 fuera del intervalo [''a'',''b''] y que cumple que:

Dado un número de intervalos solapados en la recta real, las funciones bump pueden ser construidas en cada uno de ellos, y en los [[Intervalo (matemática)|semi-intervalos]] (-&infin;∞, ''c''] and [''d'',+&infin;∞) para cubrir la recta entera, tal que la suma de las funciones sea siempre 1.

== Véase también ==