Diferencia entre revisiones de «Cero (análisis complejo)»

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El [[teorema fundamental del álgebra]] dice que todo [[polinomio]] no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero en el [[plano complejo]]. Algunas funciones polinómicas con coeficientes [[número real|reales]] no tienen ceros en el campo de los números reales, pero sí los tienen en el campo complejo. Un ejemplo es la función ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> + 1.
 
Como consecuencia de la factorización única de polinomios la existencia de un cero implica que contando multiplicidades un polinomio complejo de grado ''n'' tiene exactamente ''n'' ceros (no necesariamente distintos). En efecto, si un polinomio <math>P_n(z)</math> admite un cero en <math>z = a_0a_1</math> entonces:
{{ecuación|
<math>P_n(z) = (z-a_0a_1)P_{n-1}(z)\,</math>
||left}}
Aplicando el mismo razonamiento a <math>P_{n-1}(z)</math> y así [[inducción matemática|inductivamente]] se llega a que:
{{ecuación|
<math>P_n(z) = (z-a_0a_1)P_{n-1}(z) = (z-a_0a_1)(z-a_1a_2)P_{n-2}(z) = \dots =
(z-a_0)(z-a_1)\dots(z-a_n)\,</math>
||left}}
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