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En [[matemáticas]], los '''teoremas de Mertens''' (por [[Franz Martens]], que los demostró) son tres resultados de [[teoría de números]] enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los [[números primos]], y otro resultado de [[análisis matemático|análisis]].
 
==Primer teoremaTeoría de Mertensnúmeros ==
=== Primer teorema de Mertens ===
{{teorema|<math>\ln n - \sum_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} = O(1) \quad \hbox{as}\ n\to\infty,</math>}}
 
{{VT|Notación de Landau}}
 
=== Segundo teorema de Mertens ===
{{teorema|<math>\lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p \leq n}\frac1p\right)=0,2614972128\ldots,</math>}}
 
{{VT|Constante de Meissel-Mertens}}
 
=== Tercer teorema de Mertens ===
{{teorema|<math>\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p \leq n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma},</math>
 
donde &gamma; es la [[constante de Euler-Mascheroni]].}}
 
== Teorema de Mertens en análisis ==
{{teorema|Si una [[serie matemática|serie infinita]] real o compleja
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>