Diferencia entre revisiones de «Problema elástico»
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=== Tensor tensión de Piola-Kirchhoff ===
Una posibilidad es tratar de resolver el problema elástico teniendo en cuenta que existe un [[difeomorfismo]] entre la forma del cuerpo una vez deformado y la forma del cuerpo antes de la deformación.
Para poder escribir las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio de referencia sin deformar podemos usar el [[Tensor tensión de Piola-Kirchhoff|primer tensor de Piola-Kirchhoff]]:▼
{{ecuación|
<math>\phi:\Omega \to \Omega', \qquad (x^1,x^2,x^3)= \phi(X^1,X^2,X^3) </math>
<math>S_{IJ}= |J| \frac{\part x^i}{\part X^I} \frac{\part x^j}{\part X^J} \sigma_{ij}, \qquad ▼
|J| = \left| \frac{\part(X^1,...,X^3)}{\part(x^1,...,x^3)}\right | ▼
Mediante este difeomorfismo parte puede tratar de escribirse las ecuaciones del problema en lugar sobre el dominio ocupado por el cuerpo una vez deformado, que a priori es desconocido, sobre el dominio antes de la deformación. Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio orginal no deformado en notación tensorial resultan ser:
</math>▼
▲|*|left}}
{{ecuación|
<math>\boldsymbol{\nabla\cdot\sigma} = \mathbf{b} \quad \Rightarrow \quad
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</math>
||left}}
Donde <math>|g|\,</math> es el [[determinante]] del [[tensor métrico]] que coincide con el cuadrado del [[jacobiano]] respecto a las [[coordenadas cartesianas]].
▲Para poder escribir las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio de referencia sin deformar podemos usar el [[Tensor tensión de Piola-Kirchhoff|
{{ecuación|
▲<math>S_{IJ}= |J| \frac{\part x^i}{\part X^I} \frac{\part x^j}{\part X^J} \sigma_{ij}, \qquad
▲|J| = \left| \frac{\part(X^1,...,X^3)}{\part(x^1,...,x^3)}\right |
▲</math>
|*|left}}
Reescribiendo {{eqnref|*}} esa encuación gracias al tensor de Piola-Kirchhoff tenemos que las ecuaciones de equilibrio toman la forma:
{{ecuación|
<math>\frac{\part X^I}{\part x^k} \frac{\part}{\part X^I}
| |||