Diferencia entre revisiones de «Tensor deformación»

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El '''tensor deformación''' o '''tensor de deformaciones''' es un [[tensor]] simétrico usado en [[mecánica de medios continuos]] y [[mecánica de sólidos deformables]] para caracterizar el cambio de forma y volumen de un cuerpo. En tres dimensiones un '''tensor (de rango dos) de deformación''' tiene la forma general:</br />
</br />
:<math>
\mathbf{D} =
\end{pmatrix}
</math>
</br />
Donde cada una de las componentes del anterior tensor es una [[función]] cuyo dominio es el conjunto de puntos del cuerpo cuya [[deformación]] pretende caracterizarse. El '''tensor de deformaciones''' está relacionado con el [[tensor tensión|tensor de tensiones]] mediante las [[Ley de elasticidad de Hooke|ecuaciones de Hooke]] generalizadas, que son relaciones de tipo termodinámico o ecuaciones constitutivas para el material del que está hecho el cuerpo.
 
Téngase en cuenta que estas componentes &epsilon;ε<sub>''ij''</sub>) en general varían de punto a punto del cuerpo y por tanto la deformación de cuerpos tridimensionales se representa por un [[campo tensorial]].
 
== Tipos de tensores de deformación ==
Además para los tensores finitos se diferencia entre '''tensores materiales''' y '''tensores espaciales''' según sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.
 
== Tensor infinitesimal de deformación ==
*'''Tensor inifitesimal de Green-Cauchy''', o tensor ingenieril de deformaciones, es el usado comúnmente en [[ingeniería estructural]] y que constituye una aproximación para caracterizar las deformaciones en el caso de muy pequeñas deformaciones (inferiores en valor absoluto a 0,01). En [[coordenadas cartesianas]] dicho tensor se expresa en términos de las componentes del campo de desplazamientos como sigue:
{{ecuación|
Las componentes del '''tensor infinitesimal de Green-Cauchy''' admiten interpretaciones físicas relativamente simples:
 
* El elemento diagonal &epsilon;ε<sub>''ii''</sub>, también denotado &epsilon;ε<sub>''i''</sub>, representa los cambios relativos de longitud en la dirección ''i'', dirección dada por el eje ''X<sub>i</sub>''). La suma &epsilon;ε<sub>11</sub>+&epsilon;ε<sub>22</sub>+&epsilon;ε<sub>33</sub> es igual al cambio de volumen relativo del cuerpo.
* Los elementos &epsilon;ε<sub>''ij''</sub> (= 1/2·&gamma;γ<sub>''ij''</sub>) (''i'' &ne; ''j'') representan deformaciones angulares, más concretamente la variación del ángulo recto entre las direcciones ortogonales ''i'' y ''j''. Por tanto la distorsión o cambio de forma viene caracterizada por 3 componentes de este tensor deformación (&epsilon;ε<sub>''12''</sub>, &epsilon;ε<sub>''13''</sub>, &epsilon;ε<sub>''23''</sub>).
 
== Tensores finitos de deformación ==
Todos estos tensores se construyen a partir del '''tensor gradiente de deformaciones''' (tensores materiales) o bien de su inverso (tensores espaciales). Si pensamos que una deformación es una aplicación: <math> \mathbf{T_D}: K\subset \R^3 \rightarrow K'\subset \R^3</math> donde ''K'' es el conjunto de puntos del espacio ocupados por el sólido (o medio continuo) antes de la deformación y ''K' '' el conjunto de puntos del espacio ocupados después de la deformación. Entonces podemos definir '''tensor gradiente de deformaciones''' como el [[matriz jacobiana|jacobiano]] de ''T<sub>D</sub>'':</br />
</br />
:<math>
\mathbf{F} = J\mathbf{T_D} =
\end{pmatrix}
</math>
</br />
Donde (''x,y,z'') representan las coordenadas de un punto genérico antes de la deformación y (''x',y',z' '') las coordenadas del mismo punto después de la deformación. En función de este tensor gradiente de deformaciones se definien los siguientes tensores finitos de deformación:
 
*'''Tensor Deformación material de Green-Lagrange'''. Se puede obtener a partir del tensor gradiente de deformación y su transpuesta:</br />
</br />
:<math>
\mathbf{D}_m = \frac {1}{2}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F}-\mathbf{1})</math>
</br />
O bien en función del campo de desplazamientos:</br />
</br />
:<math>\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}+\sum_{k}{\part u_k \over \part x_i}{\part u_k \over \part x_j}\right)</math></center>
 
</br>
*'''Tensor espacial (finito) de Almansi'''. Se puede obtener a partir del inverso del tensor gradiente de deformación y su traspuesto de un modo similar a como se obtenía el tensor material y es la contrapartida "espacial" del tensor de Green-Lagrange:</br />
</br />
:<math>
\mathbf{D_e} = \frac {1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1})
</math></center>
 
</br>
*'''Tensor material (finito) de Finger''' (por [[Josef Finger]] (1894))
 
Si se conce el tensor deformación de un sólido y las dimensiones originales de un cuerpo, pueden calcularse las magnitudes que definen la forma del cuerpo deformado.
 
=== Variaciones de longitud ===
:<math> \left ( \frac{dL'}{dL} \right )^2 = 1 + 2\mathbf{n}\cdot (\mathbf{D_m}\mathbf{n})</math>
:<math> \left ( \frac{dL'}{dL} \right ) \approx 1 + \mathbf{n}\cdot (\boldsymbol{\tilde{\varepsilon}}\mathbf{n})</math>
 
=== Variaciones angulares ===
Si se consideran dos curvas, dos rectas o dos aristas de un sólido deformado que se cruzan en un punto ''P'' del sólido, la relación entre el ángulo incial (antes de la deformación) y final (después de la deformación) que forman dichas direcciones calcularse a partir de la siguiente expresión:
{{ecuación|<math>2\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{D_m}(\mathbf{n}_2) =
2\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{D_e}(\mathbf{n}_2)</math>||left}}
 
=== Variaciones de volumen ===
Dado un punto de un sólido deformable la relación entre el volumen final ''V''' de un entorno arbitrariamente pequeño alrededor de dicho punto y el volumen inicial ''V'' puede expresarse mediante la relación diferencial:
{{ecuación|<math> \frac{dV'}{dV} = \sqrt{1 + 2tr(\mathbf{D_m})+4I_2(\mathbf{D_m})+8det(\mathbf{D_m})}
La relación de densidad final y densidad incial dado que la masa se conserva es inversa de la relación anterior.
 
=== Dirección principales de deformación ===
{{AP|dirección principal}}
 
* [[Tensión mecánica]]
* [[Tensor tensión]]
 
 
[[Categoría:Mecánica de medios continuos]]
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