Diferencia entre revisiones de «Conjunto generador de un grupo»

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Si ''S'' = {''x''}, <''S''> es el subgrupo conformado por las potencias de ''x'', el cual es un [[grupo cíclico]] (más precisamente, un '''subgrupo cíclico''' de ''G''), usualmente denotado por <''x''>; se dice que este grupo es ''generado por x''. Decir que ''x'' genera el grupo ''G'' es equivalente a decir que <''x''> = ''G'', caso en el cual ''G'' mismo sería un grupo cíclico; si ''G'' tiene tamaño finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a que ''x'' tenga orden |''G''|.
 
== Grupos finitamente generados ==
 
Si el conjunto ''S'' es finito, un grupo ''G'' = <''S''> se dice '''finitamente generado'''. La estructura de los [[grupo abeliano|grupos abelianos]] finitamente generados es particularmente fácil de describir. Muchos de los teoremas que son ciertos para grupos finitamente generados fallan en general para los otros grupos.
 
Todo grupo finito es finitamente generado, pues ''G'' = <''G''>. Por el contrario, el grupo '''Z''' de [[número entero|enteros]] bajo la adición es un ejemplo de un grupo infinito que es finitamente generado, bien sea por <1>, bien sea por <&minus;1−1> (con lo cual es también cíclico). El grupo '''Q''' de [[número racional|números racionales]] bajo la adición tiene la misma [[cardinalidad]] de '''Z''', pero no puede ser finitamente generado. Ningún grupo incontable (esto es, de cardinalidad estrictamente mayor que la de '''Z''') puede ser finitamente generado.
 
Un mismo grupo puede tener varios conjuntos generadores diferentes. Por ejemplo, si ''p'' y ''q'' son enteros [[primos entre sí]], entonces <{''p'', ''q''}> genera también a '''Z'''.
 
Todo [[grupo cociente]] de un grupo finitamente generado es, a su vez, finitamente generado; en cambio, un [[subgrupo]] de un grupo finitamente generado puede no serlo. Por ejemplo, si ''G'' es el grupo libre en dos generadores, ''x'' y ''y'', es claro que ''G'' es finitamente generado; sin embargo, si ''S'' es el conjunto conformado por todos los elementos de la forma ''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>&minus;''n''</sup>, donde ''n'' es un [[número natural]], es claro que <''S''> es isomorfo al grupo libre en contables generadores, con lo cual no puede ser finitamente generado. Para [[grupo abeliano|grupos abelianos]], sin embargo, vale que todo subgrupo de un grupo finitamente generado es también finitamente generado.
 
== Grupos libres ==
 
El grupo más general posible generado por un conjunto ''S'' es el [[grupo libre|grupo '''libremente generado''']] por ''S''. Todo grupo generado por ''S'' es [[isomorfismo|isomorfo]] a un [[grupo cociente]] de aquél.
 
== Subgrupo de Frattini ==
 
Un interesante tema relacionado es el de '''no-generadores'''. Un elemento ''x'' de ''G'' es un no-generador de ''G'' si para todo [[subconjunto]] ''S'' de ''G'' que genere a ''G'', con ''x'' ∈ ''S'', se cumple que ''S'' &minus; {''x''} también genera a ''G''. El único no-generador del grupo '''Z''' es el 0. El conjunto de todos los no-generadores de un grupo forma un subgrupo de éste, llamado [[subgrupo de Frattini]].
 
== Véase también ==
* [[Grafo de Cayley]]
* [[Presentación de grupo]]
 
== Enlaces externos ==
* [http://mathworld.wolfram.com/GroupGenerators.html Mathworld: Group generators] (en inglés)
 
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