Diferencia entre revisiones de «Álgebra de Borel»

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En [[matemáticas]], el '''álgebra de Borel''' (más correctamente, '''σσ-álgebra de Borel''', también llamada ''boreliana'') sobre un espacio topológico ''X'' es una [[sigma-álgebra|σσ-álgebra]] de subconjuntos de ''X'' asociada a la topología de ''X''. En la literatura matemática se pueden encontrar dos definiciones ''no equivalentes'' de ésta:
* La σσ-álgebra generada por los [[conjunto abierto|conjuntos abiertos]].
* La σσ-álgebra generada por los [[compacto|conjuntos compactos]].
La ''σσ-álgebra generada'' por una colección ''T'' de [[subconjunto]]s de ''X'' se define como la mínima σσ-álgebra que contiene a ''T''. La existencia y unicidad de una tal σσ-álgebra se demuestra fácilmente notando que la intersección de todas las σσ-álgebras que contienen a ''T'' es en sí misma una σσ-álgebra que contiene a ''T''.
 
Los elementos del álgebra de Borel se llaman '''conjuntos de Borel''' o '''conjuntos borelianos'''.
 
== Ejemplo ==
Un ejemplo importante, especialmente en teoría de [[probabilidad]], es el álgebra boreliana sobre el conjunto de los [[número real|números reales]]. Es la σσ-álgebra en la cual se define la [[medida de Borel]]. Dada una variable aleatoria real en un [[espacio de probabilidad]], su [[distribución de probabilidad]] es, por definición, también una medida en el álgebra boreliana. El álgebra de Borel también es la mínima σσ-álgebra sobre '''R''' que contiene a los subconjuntos cerrados de '''R''', a los [[intervalo (matemáticas)|intervalos]] abiertos o cerrados, a los intervalos semiabiertos de la forma (a, b], o a los intervalos de la forma (−∞−∞,b].
 
== Referencias ==
 
* Donald L. Cohn, ''Measure theory'', Birkhäuser, 1997.
 
 
 
[[Categoría:Topología|Algebra de borel]]
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