Diferencia entre revisiones de «Elemento simétrico»

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En [[Álgebra abstracta|Álgebra Moderna]], si tenemos conjunto <math> X \, </math> en el que se ha definido:
{{wikificar|matemáticas|t=20080727064806}}
En [[Álgebra abstracta|Álgebra Moderna]], si tenemos conjunto <math>X</math> en el que se ha definido una [[operación interna]] <math>\circ</math> para la que existe [[elemento neutro]] <math>e</math>, se dice que un elemento <math>x \in X</math> posee:
#'''elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación''' <math>\circ</math> si existe un elemento <math>y \in X</math> de manera que <math>y \circ x = e</math>,
#'''elemento simétrico por la derecha respecto de la operación''' <math>\circ</math> si existe un elemento <math>z \in X</math> de manera que <math>x \circ z = e</math>,
#'''elemento simétrico respecto de la operación''' <math>\circ</math> si existe un elemento <math>\bar{x} \in X</math> de manera que <math>x \circ \bar{x} = \bar{x} \circ x = e</math>.
 
Una [[operación interna]] <math> \circ </math>
Un elemento simétrico <math>\bar{x}</math> de <math>x</math> es simétrico por la derecha del elemento <math>x</math> y simétrico por la izquierda del elemento <math>x</math>.
: <math>
\forall a, b \in X : \quad
a \circ b \in X
</math>
 
Con [[elemento neutro]] <math> e \, </math>,
====Notaciones aditiva y multiplicativa====
: <math>
\forall a \in X , \quad
\exists e \in X : \quad
a \circ e = e \circ a = a
</math>
 
Se dice que un elemento <math> x \in X </math> tiene:
 
'''elemento simétrico por la izquierda''' respecto de la operación <math> \circ </math> si:
Cuando la operación se denota por "+" (''más''), se denomina '''suma''' o '''adición'''. En ese caso, al elemento neutro se le denomina '''cero''' y se le denota por "0", y al elemento simétrico de <math>x</math> se le denomina '''elemento [[opuesto]]''' de <math>x</math> y se le denota por <math>-x</math>.
: <math>
x \in X , \quad
\exists y \in X : \quad
y \circ x = e
</math>
 
#'''elemento simétrico por la derecha''' respecto de la operación''' <math>\circ</math> si existe un elemento <math>z \in X</math> de manera que <math>x \circ z = e</math>, si:
: <math>
x \in X , \quad
\exists y \in X : \quad
x \circ y = e
</math>
 
#'''elemento simétrico por la izquierda respecto''' de la operación''' <math> \circ </math> si existe un elemento <math>ysimétrico \inpor X</math>la deizquierda manera que <math>y \circpor xla =derecha, e</math>,esto es:
: <math>
x \in X , \quad
\exists \bar{x} \in X : \quad
\bar{x} \circ x =
x \circ \bar{x} = e
</math>
 
Un elemento simétrico <math> \bar{x} </math> de <math> x \, </math> es simétrico por la derecha del elemento <math> x \, </math> y simétrico por la izquierda del elemento <math> x \, </math>.
 
=== Notación aditiva ===
Cuando la operación se denota por "+" (''más''), se denomina '''suma''' o '''adición'''. En ese caso, al elemento neutro se le denomina '''cero''' y se le denota por "0", y al elemento simétrico de <math> x \, </math> se le denomina '''elemento [[opuesto]]''' de <math> x \, </math> y se le denota por <math> -x \, </math>.
 
Así partiendo de los números [[Número entero]]: Z, y la operación suma: +, tenemos que:
: <math>
x \in Z , \quad
\exists (-x) \in Z : \quad
(-x) + x =
x + (-x) = 0
</math>
 
=== Notación multiplicativa ===
Cuando la operación se denota por "·" (''por''), se denomina '''producto''' o '''multiplicación'''. En ese caso, al elemento neutro se le denomina '''uno''' o '''unidad''' y se le denota por "1", y al elemento simétrico de <math> x \, </math> se le denomina '''elemento inverso''' de <math> x \, </math> y se le denota por <math> x^{-1} \,</math> o por <math> \frac{1}{x} </math>
 
Partiendo de los números [[Número racional]]: Q y de la operación multiplicación, tenemos:
: <math>
x \in Q , \quad
\exists \frac{1}{x} \in Q : \quad
\frac{1}{x} \times x =
x \times \frac{1}{x} = 1
</math>
 
== Véase también ==
: [[Operación matemática]]
: [[Elemento neutro]]
: [[Número]]
: [[Opuesto]]
: [[Inverso multiplicativo]]
 
Cuando la operación se denota por "·" (''por''), se denomina '''producto''' o '''multiplicación'''. En ese caso, al elemento neutro se le denomina '''uno''' o '''unidad''' y se le denota por "1", y al elemento simétrico de <math>x</math> se le denomina '''elemento inverso''' de <math>x</math> y se le denota por <math>x^{-1}</math> o por <math>\frac{1}{x}</math>
 
[[Categoría: Álgebra abstracta]]
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