Diferencia entre revisiones de «Extensión separable»
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En [[matemáticas]], una '''extensión separable''' de un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] ''K ''es un cuerpo ''L'' que contiene a ''K'' y que puede ser generado adjuntando a ''K'' un conjunto de elementos α, tales que son raíces de [[polinomio separable|polinomios separables]] sobre ''K''. En dicho caso, cualquier elemento β de ''L'' tiene asociado un polinomio mínimo que es separable sobre ''K''.
La condición de separabilidad es importante en la [[teoría de Galois]]. Un '''cuerpo perfecto''' es aquel en que todas sus extensiones algebraicas son separables. Existe un criterio simple para ver si un cuerpo es perfecto: un cuerpo ''F'' es perfecto si i
*''F'' tiene característica 0, o
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Dada una extensión finita de cuerpos ''L''/''K'', existe un subcuerpo ''M'' de ''L'' que contiene ''K'' tal que ''L'' es una extensión separable de ''M''. Cuando ''L'' = ''M'' la extensión ''L''/''K'' recibe el nombre de '''extensión inseparable pura'''.
Las extensiones inseparables puras aparecen en situaciones bastante naturales, por ejemplo en [[geometría algebraica]] en característica ''p''. Si ''K'' es un cuerpo de característica ''p'', y ''V'' una [[variedad algebraica]] sobre ''K'' de dimensión no nula, si consideramos el [[cuerpo de funciones]] ''K''(''V'') y su [[cuerpo|subcuerpo]] ''K''(''V'')<sup>''p''</sup> de potencias ''p''-
En el contexto de cuerpos no perfectos, se introduce el concepto de '''clausura separable''' ''K''<sup>sep</sup> dentro de la [[clausura algebraica]], la cual es la mayor extensión separable posible de ''K''. Entonces la teoría de Galois es válida dentro de ''K''<sup>sep</sup>.
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