Diferencia entre revisiones de «Teorema del punto fijo de Banach»

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En [[análisis matemático]] el '''[[teorema del punto fijo]] de Banach''' (también llamado '''teorema de la aplicación contractiva''') es una de las herramientas más importantes para demostrar la existencia de soluciones de numerosos problemas matemáticos. El teorema garantiza la existencia y unicidad de [[punto fijo|puntos fijos]] de ciertas funciones definidas sobre [[espacio métrico|espacios métricos]] y proporciona un método para encontrarlos. Debe su nombre a [[Stefan Banach]] (1892–1945), quien fue el primero en enunciarlo en 1922{{Plantilla:Cita requerida}}.
== Enunciado ==
 
== Enunciado ==
Uno de los resultados más importantes del [[análisis matemático]] es el '''[[teorema del punto fijo]] de [[Stefan Banach|Banach]]''', el cual dice que
{{teorema|SiSea en(''X'',''d'') un [[espacio métrico]] X [[espacio completo|completo]] tenemosy ''f'' una funciónaplicación. deSe Xdice enque X [[aplicaciónes contractiva|contractiva]], es decir, tal quesi existe K<1 tal que
 
{{teorema|Si en un [[espacio métrico]] X [[espacio completo|completo]] tenemos una función de X en X [[aplicación contractiva|contractiva]], es decir, tal que existe K<1 tal que
<math>d(f(x),f(y)) \leq Kd(x,y)</math>
para cualesquiera <math>x,y\in X</math>, entonces existe un. únicoUn [[punto fijo (matemáticas)|punto fijo]] <math>x_0\in X</math>, de ''f'' es decir,un quepunto satisfacede X tal que f(<math>f(x_0</math>) = <math>x_0</math>.|Stefan Entonces el teorema del punto fijo de Banach}} dice:
 
{{teorema|Sea (''X'',''d'') un [[espacio métrico]] [[espacio completo|completo]] y sea ''f'': ''X'' → ''X'' una [[aplicación contractiva]] en ''X''. Entonces existe un único [[punto fijo (matemáticas)|punto fijo]] de ''f''.|Stefan Banach}}
 
Además, el teorema establece que para todo ''x'' de ''X'' la sucesión ''x'', ''f(x)'', ''f(f(x))'', ... converge a dicho punto fijo.
Se trata de una herramienta básica en la prueba de la existencia de soluciones de [[ecuaciones diferenciales]]. Otro de los usos de este resultado radica en el análisis de sistemas dinámicos, que tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de población, modelos caóticos, etcétera. También es importante en el estudio de métodos iterativos utilizados en el cálculo numérico, por ejemplo en algunos problemas de ingeniería. Incluso determinados [[fractales]] son puntos fijos de ciertas contracciones.
=== Demostración ===
La demostración se sigue de que la sucesión así definida es una [[sucesión de Cauchy]] por ser la función contractiva. Como ''X'' es completo converge a un <math>x_0</math> de X. Por ser la función contractiva, es continua y de la forma en que se ha definido, se sigue que <math>x_0</math> es un punto fijo de la función y que es único.
 
== Aplicaciones ==
Se trata de una herramienta básica en la pruebademostración de la existencia de soluciones de [[ecuaciones diferenciales]] (Véase el [[teorema de Picard-Lindelöf]]). Otro de los usos de este resultado radica en el análisis de sistemas dinámicos, que tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de población, modelos caóticos, etcétera. También es importante en el estudio de métodos iterativos utilizados en el cálculo numérico, por ejemplo en algunos problemas de ingeniería. Incluso determinados [[fractales]] son puntos fijos de ciertas contracciones.
 
<!--Dada y'=f(x,y), despejo f(x,y) para lograr que en un costado de la ecuación me quede solamente x y la igualo a x=g(x,y)
 
Si |g'(x,y)|< 1 Converge linealmente
El punto donde se cortan las funciones <math>y=x</math> e <math>y=f(x)</math> es el punto fijo donde <math>F(k)=k</math>. Para que se dé esto, tiene que cumplirse las siguientes premisas:
# <math>F(x)</math> es continua en el intervalo (a, b)
# <math>F(a)< a</math> y <math>F(b)>b</math> ó <math>F(a)> a</math> y<math> F(b)<b</math>-->
 
[[Categoría:Teoremas|Punto fijo de Banach]]