Diferencia entre revisiones de «Criterio de condensación de Cauchy»
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En [[matemáticas]], el '''Criterio de condensación de Cauchy''' es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre [[Augustin Louis Cauchy]], [[matemático]] [[francés]]. Sea
:<math>\sum{a_n}</math>
una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces
:<math>\sum_{n=1}^\infty {a_n}</math>
converge si y sólo si la serie <math>\sum_{n=1}^\infty {2^na_{2^n}}</math> converge. Por otra parte, en este caso tenemos
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty}f(n). </math>
Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de [[trapecio]]s en cada <math>2^{n}</math>. Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como
:<math>\ f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}, </math>.
Aquí las series definitivamente convergen para un ''a'' > 1, y diverge para ''a'' < 1. Cuando ''a'' = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie
:<math>\sum n^{-b} (\log n)^{-c}</math>
El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para ''a'' = 1, tenemos convergencia para ''b'' > 1, divergencia para ''b'' < 1. Cuando ''b'' = 1 el valor de ''c'' es necesario.
== Demostración ==
Sea ''f''(''n'') positiva, una secuencia no creciente de números reales. Para simplificar la notación, escribiremos ''a''<sub>''n''</sub> = ''f''(''n''). Investigaremos las series <math>a_1+a_2+a_3+\cdots</math>. El criterio de condensación sigue de la observación si reunimos los términos de la serie en grupos de longitud <math>2^{n}</math>, cada uno de estos grupos será menor que <math>2^{n}</math> a <math>2^{n} a_{2^{n}}</math> por monotonía. Observrmos:
:<math>\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n & = a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots +a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\
& = a_1+\underbrace{a_2+a_3}_{\leq a_2+a_2}+\underbrace{a_4+a_5+a_6+a_7}_{\leq a_4+a_4+a_4+a_4}+\cdots +\underbrace{a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}}_{\leq a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots +a_{2^n}}+\cdots \\
& \leq a_1 + 2 a_2 + 4 a_4 + \cdots + 2^n a_{2^n} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}.
\end{align}</math>
Usamos el hecho que la secuencia ''a''<sub>''n''</sub> no es creciente, por lo tanto <math>a_n\leq a_m</math> siempre que <math>n\geq m</math>. La convergencia de la serie original ahora sigue de una directa comparación a esta serie "condensada". Para ver la convergencia de la serie original implica la convergencia de esta última, de manera similar ponemos,
:<math>\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} & = \underbrace{a_1+a_2}_{\leq a_1+a_1}+\underbrace{a_2+a_4+a_4+a_4}_{\leq a_2+a_2+a_3+a_3}+\cdots +\underbrace{a_{2^n}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}}_{\leq a_{2^n}+a_{2^n}+a_{(2^n+1)}+a_{(2^n+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\
& \leq a_1 + a_1 + a_2 +a_2 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n + a_n + \cdots = 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
\end{align}</math>
Teniendo una convergencia, nuevamente por comparación directa. Se observa que se obtiene un estimado
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>.
== Enlaces externos ==
* [http://pirate.shu.edu/projects/reals/numser/t_conden.html Demostración del Criterio de condensación de Cauchy]
== Referencias ==
* Bonar, Khoury (2006). ''Real Infinite Series''. Mathematical Association of America. ISBN 0883857456.
[[Categoría:Series matemáticas]]
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