Diferencia entre revisiones de «Axioma de regularidad»

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El '''axioma de regularidad''' o '''axioma de fundación''' es un [[axioma]] de la [[teoría de conjuntos| Teoría de Conjuntos]] (enmarcada en su formulación de [[Axiomática de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel-Skolem]]). Es conocido usualmente como <math>V = R</math>. Fue establecido por [[Zermelo]] en [[1930]] (si bien [[Von Neumann]] había propuesto en [[1929]] uno similar de formulación más compleja).
 
== Enunciado ==
 
Podemos enunciar el axioma de regularidad afirmando que dado un conjunto no vacío <math>x</math>, existe siempre algún elemento suyo <math>y \in x</math> de manera que es disjunto con <math>x</math>. Formalmente:
<math>\forall x (x \neq \varnothing \Rightarrow \exists y \in x : y \cap x = \varnothing)</math>
 
== Usos ==
 
El axioma de regularidad es un axioma de tipo técnico, es decir, su uso es muy restringido en Teoría de Conjuntos, y fue formulado ad hoc para evitar ciertas paradojas. Pero una de las conclusiones más importantes que produce es la de que cualquier conjunto puede obtenerse a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la [[Conjunto potencia|potenciación de conjuntos]] (es decir, la operación entre conjuntos que a un conjunto <math>x</math> le asigna el conjunto de las partes de <math>x</math>:<math> \mathcal{P}(x)</math>). También prohíbe la existencia de un conjunto que se tuviera a sí mismo como elemento, es decir se cumple gracias a él que si <math>x</math> es un conjunto, entonces <math>x \notin x</math>.
 
[[Categoría: Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel]]
 
[[Categoría: Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel]]
 
[[de:Fundierungsaxiom]]
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