Diferencia entre revisiones de «Álgebra geométrica»

En [[matemáticas]], '''álgebra geométrica''' es un término aplicado a la teoría de las [[álgebra de Clifford|álgebras de Clifford]] y teorías relacionadas, siguiendo un libro del mismo título por [[Emil Artin]]. Este término también ha tenido reciente uso en los tratamientos de la misma área en la literatura [[física]]. En [[David Hestenes|David Hestenes ''et al.'']] '''álgebra geométrica''' es una reinterpretación de las [[álgebra]]s de Clifford sobre los reales (lo que se afirma como una vuelta al nombre y a la interpretación originales previstos por [[William Kingdon Clifford|William Clifford]]). Los números reales se utilizan como escalares en un [[espacio vectorial]] ''V''. Desde ahora en adelante, un vector es algo en ''V'' mismo. El [[producto externo]] ([[producto exterior]], o [[producto cuña]]) ∧ se define tal que se genere el [[álgebra graduada]] ([[álgebra exterior]] de [[Hermann Grassmann]]) de Λⁿ '''V'''_n de multivectores. El '''álgebra geométrica''' es el [[álgebra]] generada por el '''producto geométrico''' (el cual es pensado como fundamental) con (para todos los [[multivector|multivectores]]es '''A''', '''B''', '''C''')

El punto distintivo de esta formulación es la correspondencia natural entre las entidades geométricas y los elementos del [[álgebra asociativa]]. La conexión entre las álgebra de Clifford y las formas cuadráticas vienen de la propiedad de contracción. Esta regla también da al espacio una [[métrica]] definida por el naturalmente derivado [[producto interno]]. Debe ser observado que en álgebra geométrica en toda su generalidad no hay restricción ninguna en el valor del escalar, puede suceder que sea negativa, incluso cero (en tal caso, la posibilidad de un producto interno está eliminada si se requiere <math>\langle x, x \rangle \ge 0</math>).

El [[producto escalar]] usual y el [[producto cruzado]] tradicional del álgebra vectorial (en <math>\mathbb{R}^3</math>) hallan sus lugares en el álgebra geométrica <math>\mathcal{G}_3</math> como el producto interno: