Diferencia entre revisiones de «Conjunto generador de un grupo»

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Un mismo grupo puede tener varios conjuntos generadores diferentes. Por ejemplo, si ''p'' y ''q'' son enteros [[primos entre sí]], entonces <{''p'', ''q''}> genera también a '''Z'''.
 
Todo [[grupo cociente]] de un grupo finitamente generado es, a su vez, finitamente generado; en cambio, un [[subgrupo]] de un grupo finitamente generado puede no serlo. Por ejemplo, si ''G'' es el grupo libre en dos generadores, ''x'' ye ''y'', es claro que ''G'' es finitamente generado; sin embargo, si ''S'' es el conjunto conformado por todos los elementos de la forma ''y''<sup>''n''</sup>''xy''<sup>−''n''</sup>, donde ''n'' es un [[número natural]], es claro que <''S''> es isomorfo al grupo libre en contables generadores, con lo cual no puede ser finitamente generado. Para [[grupo abeliano|grupos abelianos]], sin embargo, vale que todo subgrupo de un grupo finitamente generado es también finitamente generado.
 
== Grupos libres ==
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