Diferencia entre revisiones de «Progresión aritmética»

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En [[matemáticas]], una '''progresión aritmética''' es una serie de [[número]]s tales que la [[resta|diferencia]] de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una [[constante]], cantidad llamada ''diferencia de la progresión'' o simplemente ''diferencia''.
 
Por ejemplo, la sucesión ''3'', ''5'', ''7'', ''9'', ''11'',... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) ''2''.
==Término general de una progresión aritmética==
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus ''términos'', conocidos alguno de ellos y la ''diferencia'' de la progresión.
 
Fórmula del término general de una progresion aritmetica: ''(d=diferencia)''
{{ecuación|<math>a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,</math>}}
 
:Si el término inicial de una progresión aritmética es <math>a\,</math> y la diferencia común es <math>d\,</math>, entonces el término <math>n\,</math>-ésimo de la sucesión viene dada por
* <math>a + nd\,</math>, &nbsp;&nbsp; ''n'' = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el [[cero]].
* <math>a + (n-1)d\,</math> &nbsp;&nbsp; ''n'' = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como [[número ordinal|ordinal]].
 
Generalizando. Sea la progresión aritmética:
 
{{ecuación|<math>a_1, a_2, a_3,..., a_m,..., a_n\,</math> de diferencia <math>d\,</math>}}
 
tenemos que
 
{{ecuación|<math>a_1 = a_1\,</math>}}
{{ecuación|<math>a_2 = a_1 + d\,</math>}}
{{ecuación|<math>a_3 = a_2 + d\,</math>}}
{{ecuación|...}}
{{ecuación|<math>a_{n-1} = a_{n-2} + d\,</math>}}
{{ecuación|<math>a_n = a_{n-1} + d\,</math>}}
 
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
 
{{ecuación|<math>a_n = a_1 + (n-1)d\,</math>|I}}
 
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia.
 
Podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos <math>a_m\,</math> y <math>a_n\,</math> (<math>m<n\,</math>) de la progresión anterior y pongámolos en función de <math>a_1\,</math>:
 
{{ecuación|<math>a_m = a_1 + (m-1)d\,</math>}}
{{ecuación|<math>a_n = a_1 + (n-1)d\,</math>}}
 
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
 
{{ecuación|<math>a_n = a_m + (n-m)d\,</math>|II}}
 
expresión más general que '''(I)''' pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
 
Dependiendo de que la diferencia <math>d\,</math> de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
 
* '''d>0''': progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
* '''d=0''': progresión constante. Todos los términos son iguales.
* '''d<0''': progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.
 
==Interpolación de términos diferenciales==
 
Interpolar ''k'' términos diferenciales entre dos números <math>a \,</math> y <math>b \,</math> dados, es formar una progresión aritmética de <math>k+2 \,</math> términos, siendo <math>a \,</math> el primero y <math>b \,</math> el último. El problema consiste en encontrar la diferencia <math>d\,</math> de la progresión.
 
Apliquemos '''(II)''', <math>a_n = a_m + (n-m)d \,</math>, teniendo en cuenta que <math>a = a_m \,</math>, <math>b = a_n \,</math>, <math>n = k+2 \,</math> y <math>m = 1 \,</math>:
 
{{ecuación|<math>b = a + (k+2-1)d \,</math>}}
{{ecuación|<math>b = a + (k+1)d \,</math>}}
 
de dónde, si despejamos ''d'':
 
{{ecuación|<math>d = \frac{b-a}{k+1} \,</math>|III}}
 
Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según '''(III)''' haciendo '''a''' = 2, '''b''' = 14, '''k''' = 3
 
{{ecuación|<math>d = \frac{14-2}{3+1} \,</math>}}
 
{{ecuación|<math>d = 3 \,</math>}}
 
Los términos a interpolar serán <math>a_2 = 5 \,</math>, <math>a_3 = 8 \,</math>, y <math>a_4 = 11 \,</math>.
 
Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:
 
{{ecuación|2, '''5''', '''8''', '''11''', 14}}
 
==Suma de términos de una progresión aritmética==
 
Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquéllos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el '''término central''' de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.
 
===Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos===
 
[[Archivo:progresión aritmética-suma de términos-.png|200px|framed|right|Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general a<sub>n</sub> = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.]]
Sea la progresión aritmética de diferencia ''d'' :
 
{{ecuación|<math>a_1, a_2, a_3, \cdots , a_{n-2}, a_{n-1}, a_n \,</math>}}
 
Sumemos el primer y último términos:
 
{{ecuación|<math>a_1 + a_n = a_1 + (a_1 + (n-1)d) \,</math>}}
{{ecuación|<math>a_1 + a_n = 2 a_1 + (n-1)d \,</math>|IV}}
 
Veamos ahora la suma de dos '''términos equidistantes de los extremos'''. Éstos serán de la forma <math>a_{1+k}</math> y <math>a_{n-k}</math>, siempre que <math>(n-k)>0</math>.
 
Aplicando '''(I)'''
 
{{ecuación|<math>a_{1+k} = a_1 + kd \,</math>}}
{{ecuación|<math>a_{n-k} = a_1 + (n-k-1)d \,</math>}}
 
Sumamos y obtenemos:
{{ecuación|<math>a_{1+k} + a_{n-k} = 2a_1 + (n-1)d \,</math>}}
 
el mismo resultado que el obtenido para <math>a_1 + a_n \,</math>.
 
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
 
{{ecuación|<math>a_1 + a_n = a_{1+k} + a_{n-k} \,</math>}}
 
===El término central de una progresión aritmética ===
En una progresión aritmética con un número impar de términos, '''término central''' '''a<sub>c</sub>''' es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a<sub>1</sub> y a<sub>n</sub> de ésta.
 
Sea la progresión aritmética a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,...., a<sub>c</sub>,...., a<sub>n-2</sub>, a<sub>n-1</sub>, a<sub>n</sub> de diferencia ''d'', y término central a<sub>c</sub>. De acuerdo con la expresión del término general en '''([[#Eqnref IV|I]])'''
{{ecuación|<math>a_c = a_1 + (c-1)d \,</math>}}
 
pero para el término central
 
{{ecuación|<math>c = \frac{n+1}{2} \,</math>}}
 
sustituímos este valor de ''c'' y resolvemos:
 
{{ecuación|<math>a_c = a_1 + \frac{n-1}{2} d \,</math>|V}}
 
y comparando con '''([[#Eqnref IV|IV]])''' es evidente que:
 
{{ecuación|<math>a_1 + a_n = 2a_c \,</math>}}
 
Resumiendo, hemos demostrado que:
 
{{ecuación|<math>a_1 + a_n = a_{1+k} + a_{n-k} = 2a_c = cte \,</math>|VI}}
 
Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.
 
===Suma de todos los términos de una progresión aritmética===
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como '''[[serie aritmética]]'''. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los ''n'' primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
 
{{ecuación|<math> \sum_{i=1}^{i=n} a_i = { n (a_1 + a_n) \over 2} \,</math>}}
 
donde <math>a_1</math> es el primer término y <math>a_n</math> el último. Demostrémoslo.
 
Sea una progresión aritmética de término general <math>a_n \,</math> y de diferencia ''d'':
 
{{ecuación|<math>\sum_{i=1}^{i=n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_c + \cdots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n \,</math>}}
 
aplicando la propiedad conmutativa de la suma:
 
{{ecuación|<math>\sum_{i=1}^{i=n} a_i = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_c + \cdots + a_3 + a_2 + a_1 \,</math>}}
 
Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:
 
{{ecuación|<math>2\sum_{i=1}^{i=n} a_i = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + 2a_c + \cdots + (a_{n-2} + a_3) + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1) \,</math>}}
 
pero [[#Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos|según IV]], y [[#El término central de una progresión aritmética con un número impar de términos|según VI]] sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor que <math>a_1 + a_n</math>, de manera que:
 
{{ecuación|<math>2\sum_{i=1}^{i=n} a_i = n(a_1 + a_n) \,</math>}}
{{ecuación|<math>\sum_{i=1}^{i=n} a_i = n \frac{a_1 + a_n}{2} \,</math>|VII}}
 
ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus términos extremos, y el número total de aquéllos. La utilidad de '''(VII)''' se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión. Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos de 5? El resultado es inmediato:
 
{{ecuación|<math>a_1 = 5 \,</math>}}
{{ecuación|<math>a_n = 500.000 \,</math>}}
{{ecuación|<math>n = 100.000 \,</math>}}
 
{{ecuación|<math>S_n = 100.000 \frac{5 + 500.000}{2} \,</math>}}
 
{{ecuación|<math>S_n = 2,500025 10^{10} \,</math>}}
 
más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.
 
Así también, para hallar la suma de los ''n'' primeros [[número natural|enteros positivos]]:
 
{{ecuación|<math>1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \,</math>}}
 
lo que también se conoce como [[número triangular]].
 
 
Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por [[Carl Friedrich Gauss]] cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y calculó el resultado de inmediato: 5050.
 
Esto se puede explicar más detalladamente:
{{ecuación|<math>S = 1 +2 +3 +... +(n-2) +(n-1) +n \,</math>}}
{{ecuación|<math>S = n+(n-1) +(n-2) +... +3 +2 +1 \,</math> (por la [[propiedad conmutativa]] de la suma, se pueden expresar los sumandos en este orden)}}
{{ecuación|<math>S = (n+1) +(n+1) +(n+1) +... +(n+1) +(n+1) +(n+1) \,</math> (hay ''n/2'' sumandos al sumar los terminos anteriores, el n con el 1, el n-1 con el 2, etc)}}
{{ecuación|<math>S = (n/2)(n+1) \,</math>}}
{{ecuación|<math>S = n(n+1)/2 \,</math>}}
 
En el caso del problema de Gauss, ''n'' vale 100 y ''S'' = 100·101/2 = 5050.
 
== Véase también ==
* [[Progresión geométrica]]
 
[[Categoría:Análisis matemático]]
 
[[ar:متتالية حسابية]]
[[az:Ədədi silsilə]]
[[bg:Аритметична прогресия]]
[[bs:Aritmetička progresija]]
[[ca:Progressió aritmètica]]
[[cs:Aritmetická posloupnost]]
[[da:Differensrække]]
[[de:Arithmetische Reihe]]
[[en:Arithmetic progression]]
[[eo:Aritmetika vico]]
[[et:Aritmeetiline jada]]
[[eu:Serie aritmetiko]]
[[fa:تصاعد حسابی]]
[[fi:Aritmeettinen sarja]]
[[fr:Suite arithmétique]]
[[he:סדרה חשבונית]]
[[hr:Aritmetički niz]]
[[hu:Számtani sorozat]]
[[id:Deret aritmatika]]
[[it:Progressione aritmetica]]
[[ja:等差数列]]
[[ka:არითმეტიკული პროგრესია]]
[[ko:등차수열]]
[[lt:Aritmetinė progresija]]
[[mk:Аритметичка прогресија]]
[[nl:Rekenkundige rij]]
[[pl:Ciąg arytmetyczny]]
[[pms:Progression aritmética]]
[[pt:Progressão aritmética]]
[[ro:Progresie (matematică)]]
[[ru:Арифметическая прогрессия]]
[[sk:Aritmetická postupnosť]]
[[sl:Aritmetično zaporedje]]
[[sv:Aritmetisk följd]]
[[th:การก้าวหน้าเลขคณิต]]
[[uk:Арифметична прогресія]]
[[vi:Cấp số cộng]]
[[zh:等差数列]]
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