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Dos álgebras <math>\mathcal{A}</math> y <math>\mathcal{B}</math> sobre <math>\mathbb{K}</math> son '''isomorfas''' si existe una [[K]] ''biyección'' - [[función lineal]] ''f'': <math>\mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> tal que ''f'' ('''xy''') = ''f''('''x''')''f''('''y''') para todo '''x''', '''y''' en <math>\mathcal{A}</math>. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.
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== Características ==
Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de <math>\mathcal{A} \times \mathcal{A}</math> a <math>\mathcal{A}</math> es determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la [[base]] de ''A''. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para <math>\mathcal{A}</math>, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en <math>\mathcal{A}</math>, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.
Así, dado el cuerpo ''K'', cualquier álgebra se puede especificar [[salvo]] un [[isomorfismo]] dando su [[dimensión]] (digamos ''n''), y especificar los ''n''<sup>''3''</sup> ''coeficientes de estructura'' c<sub>i,j,k</sub>, que son [[escalar]]es. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en <math>\mathcal{A}</math> vía la regla siguiente:
{{Ecuación|<math>\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}</math>||left}}
Donde '''e'''<sub>1</sub>,...'''e'''<sub>n</sub> una base de ''A''. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión ''n'' es un [[número infinito]], entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.
En [[física matemática]], los coeficientes de estructura se escriben a menudo ''c''<sub>''i'',''j''</sub><sup>''k''</sup>, y se escribe usando el [[convenio de sumación de Einstein]] como
:'''e'''<sub>''i''</sub> '''e'''<sub>''j''</sub> = ''c'' <sub>''i'',''j''</sub><sup>''k''</sup> '''e'''<sub>''k''</sub>.
Si se aplica esto a vectores escritos en [[notación de índice]], entonces se convierte en
: ('''xy''')<sup>''k''</sup> = ''c'' <sub>''i'',''j''</sub> <sup>''k''</sup> ''x''<sup>''i''</sup> ''y''<sup>''j''</sup>.
Si ''K'' es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si <math>\mathcal{A}</math> es un [[módulo libre]] sobre ''K''. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un [[conjunto generador]] de <math>\mathcal{A}</math>; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no especifica el álgebra módulo isomorfismo.
== Clases de álgebra y ejemplos ==
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