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Históricamente, el álgebra era la ciencia de las reducciones y las comparaciones; por reflejo en las matemáticas el álgebra es el dominio relativo a la resolución de las [[Ecuación|ecuaciones]] polinomiales, es decir de la forma '''P'''(X) = 0, donde '''P''' es un [[polinomio]]:
*Para '''P''' de grado 1, se tuvotuvieron que inventar las fracciones y los números negativos, y se adoptó la representación de una [[recta]] para el conjunto de todos los [[número real|números reales]].
*Para '''P''' de grado 2, se tuvotuvieron que inventar las [[raíz cuadrada|raíces cuadradas]], y se pensó en [[número imaginario|números imaginarios]] para ecuaciones aldel estilotipo x<sup>2</sup> = -1, que contradicen la regla de los signos. + [[número complejo|números complejos]]
*Para '''P''' de grado 3, se descubrió que era imprescindible emplear los números complejos para resolverlas, aún cuando la solución encontrada fuese a fin de cuentas real. Se vislumbró también el vínculo entre la [[trigonometría]] y ciertas ecuaciones de tercer grado.
*Para el cuarto grado, se empezóempezaron a manipular las raíces con maestría, evidenciando la noción de grupo de [[permutación|permutaciones]].
*El quinto grado fue la causa de una gran desilusión, pues se demostró que no se podiápodía resolver el caso general mediante las raíces (cuadradas, cúbicas...).
 
Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los [[grupo matemático|grupo]]s, [[anillo]]s, [[cuerpo]]s y sus extensiones, [[espacio vectorial|espacios vectoriales]] ([[álgebra lineal]]), y parte de la [[geometría]], la relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las [[cónica]]s ([[elipse]], [[parábola]], [[hipérbola]], [[círculo]]), ahora incluidas en el [[álgebra bilineal]].