Diferencia entre revisiones de «Continuidad uniforme»

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*De la definción se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si <math>x \in \mathbb{R}^{+} </math> y <math>f(x)= \frac{1}{x}</math>. <math>f(x)</math> es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:
 
*[[Teorema de Heine-Cantor]]. Si ''M'' es un espacio métrico [[espacio compacto|compacto]] y ''Y'' un espacio métrico, entonces toda función continua ''f''&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''Y'' es uniformemente continua. En particular, toda funcion continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo.
Si <math>f(x)</math> es contínua en <math>[a,b]</math>, entonces es uniformemente contínua en <math>[a,b]</math>.
 
*Si (''x''<sub>''n''</sub>) es una [[sucesión de Cauchy]] contenida en el dominio de ''f'' (no necesariamente convergente) y ''f'' es una función uniformemente continua, entonces (''f''(''x''<sub>''n''</sub>)) también es una [[sucesión de Cauchy]].
*Toda función [[Lipschitz continua]] es uniformemente continua.
*[[Teorema de Heine-Cantor]]. Si ''M'' es un espacio métrico [[espacio compacto|compacto]] y ''Y'' un espacio métrico, entonces toda función continua ''f''&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''Y'' es uniformemente continua. En particular, toda funcion continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo.
 
[[Categoría:Análisis matemático]]