Diferencia entre revisiones de «Criterio de Eisenstein»
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m Borrado la afirmacion falsa de que para un polinomio con coeficientes enteros es equivalente ser irreducible sobre Q o sobre Z al final de la primera linea. |
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En [[matemática]], el '''criterio de Eisenstein''' proporciona la [[condición suficiente]] para que un [[polinomio]] sea [[polinomio irreducible|irreducible]] sobre '''[[números racionales|Q]]'''.
Si tenemos el siguiente [[polinomio]] con [[coeficiente]]s [[entero]]s.
: <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
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En algunos casos, la elección del primo puede ser poco clara, pero puede llegar a revelarse por un cambio de variable ''y'' = ''x'' + ''a''. Por ejemplo, consideremos ''h''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 2. Es aparentemente difícil, ya que ningún primo divide a 1, el coeficiente de ''x''. Pero si cambiamos ''h''(''x'') en ''h''(''x'' + 3) = ''x''<sup>2</sup> + 7''x'' + 14 veremos inmediatamente que el primo 7 divide al coeficiente de ''x'' y al término constante, y que 49 no divide a 14. Así, con el cambio introducido, logramos que el polinomio satisficiera el criterio de Eisenstein.
Otro caso notable es el del [[polinomio ciclotómico]] para un primo ''p''. Esto es:
(''x''<sup>''p''</sup> − 1)/(''x'' − 1) = ''x''<sup>''p'' − 1</sup> + ''x''<sup>''p'' − 2</sup> + ... + ''x'' + 1.
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== Explicación avanzada ==
Aplicando la teoría del [[polígono de Newton]] para el campo de los números ''p''-ádicos, para un polinomio de Eisenstein, se supone que tomaremos la menor envoltura [[convexidad|convexa]] de los puntos.
:(0,1), (1, ''v''<sub>1</sub>), (2, ''v''<sub>2</sub>), ..., (''n'' − 1, ''v''<sub>''n''-1</sub>), (''n'',0),
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Esta prueba es mucho más complicada que el argumento directo por reducción módulo ''p''. Sin embargo, permite ver, en términos de [[teoría algebraica de números]], la frecuencia con que puede aplicarse el criterio de Eisenstein después de algún cambio de variable; y así limita marcadamente la posible elección de ''p''.
De hecho sólo los primos ''p'' que se ramifiquen en la extensión de '''Q''' generada por una raíz de ''f'' tienen alguna posibilidad de servir. Pueden ser hallados en términos del [[discriminante de un polinomio|discriminante]] de ''f''. Por ejemplo, en el caso de ''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 2 dado más arriba, el discriminante es −7, de modo que 7 es el único primo con posibilidades de satisfacer el criterio. Se torna, mod 7, en:
:(''x'' − 3)<sup>2</sup>
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— es inevitable la repetición de una raíz, ya que el discriminante es 0 mod 7. Por lo tanto el cambio de variable es algo realmente predecible.
Una vez más, para el polinomio ciclotómico se torna en:
:(''x'' − 1)<sup>''p'' − 1</sup> mod p;
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